发布时间 : 星期四 文章[创新设计]2021届高考数学(北师大版)一轮训练:第6篇 第3讲 基本不等式更新完毕开始阅读
第3讲 基本不等式
基础巩固题组 (建议用时:40分钟)
一、选择题
1.(2014·延安模拟)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是
( ).
A.a+b≥2ab ba
C.a+b≥2
112B.a+b> abD.a2+b2>2ab
baa×b=2.
baba
解析 因为ab>0,即a>0,b>0,所以a+b≥2答案 C
11
2.(2014·杭州一模)设a>0,b>0.若a+b=1,则a+b的最小值是 ( ). A.2 C.4
1
B.4 D.8
bab×=4,当且仅当aba=
11a+ba+bba
解析 由题意a+b=a+b=2+a+b≥2+2a1,即a=b=b2时,取等号,所以最小值为4. 答案 C
13.(2013·金华十校模拟)已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+a,1
n=a+b,则m+n的最小值是 A.3 C.5
B.4 D.6
( ).
11
解析 由题意知:ab=1,∴m=b+a=2b,n=a+b=2a, ∴m+n=2(a+b)≥4ab=4.
答案 B
4.(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a
解析 设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a
a2s+s=b
2sab2ab2ab
=<=ab.
?a+b?sa+b2ab
B.v=ab a+b
D.v=2
( ).
ab-a2a2-a22ab
又v-a=-a=>=0,∴v>a.
a+ba+ba+b答案 A
5.(2014·南昌模拟)已知函数y=x-4+b,则a+b= A.-3 C.3 解析 y=x-4+
9
(x>-1),当x=a时,y取得最小值x+1 B.2 D.8
999=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,x+1x+1x+1
9
-5≥2x+1
?x+1?×
9
-5=1,当且仅x+1
( ).
所以由基本不等式得y=x+1+当x+1=
9
,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时取等号,所以a=2,x+1
b=1,a+b=3. 答案 C 二、填空题
6.(2014·广州模拟)若正实数a,b满足ab=2,则(1+2a)·(1+b)的最小值为________.
解析 (1+2a)(1+b)=5+2a+b≥5+22ab=9.当且仅当2a=b,即a=1,b=2时取等号. 答案 9
2
xy
7.已知x,y∈R+,且满足3+4=1,则xy的最大值为______. xy
解析 ∵x>0,y>0且1=3+4≥2y=2时取等号. 答案 3
8.函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mnxyxy3,∴xy≤3.当且仅当=,即当x=12342,
>0)上,则11
m+n的最小值为________. 解析 ∵y=a1-x恒过点A(1,1), 又∵A在直线上, ∴m+n=1.
而11m+nm+nnm
m+n=m+n=2+m+n≥2+2=4, 当且仅当m=n=1
2时,取“=”, ∴11
m+n的最小值为4. 答案 4 三、解答题
9.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:111
a+b+ab≥8. 证明 111=11a+b?11?a+b+aba+b+ab=2??a+b??,
∵a+b=1,a>0,b>0,
∴11a+ba+b2+ab
a+b=a+b=b+a≥2+2=4, ∴1118??1?当且仅当a=b=2时等号成立?
a+b+ab≥??.
10.已知x>0,y>0,且2x+5y=20. (1)求u=lg x+lg y的最大值; (2)求11
x+y的最小值. 解 (1)∵x>0,y>0,
3
∴由基本不等式,得2x+5y≥210xy.
∵2x+5y=20,∴210xy≤20,xy≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.因?2x+5y=20,?x=5,此有?解得?
?2x=5y,?y=2,此时xy有最大值10.
∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.
∴当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1.
5y2x?1?11?11?2x+5y1?
+7+???(2)∵x>0,y>0,∴x+y=xy·20=20≥?x+y?????20?7+2 7+2105y2x
20,当且仅当x=y时,等号成立. 2x+5y=20,??
由?5y2x
=,??xy
5y2x?
?=x·y?
1010-20??x=3,
解得?
20-410?y=.?3
7+21011
∴x+y的最小值为20.
能力提升题组 (建议用时:25分钟)
一、选择题
1
1.(2014·宝鸡模拟)已知正实数a,b满足a+2b=1,则a2+4b2+ab的最小值为 7A.2 161C.36
( ). B.4 17D.2 11
解析 因为1=a+2b≥22ab,所以ab≤8,当且仅当a=2b=2时取等号.又1?1111?因为a2+4b2+ab≥2a2·4b2+ab=4ab+ab.令t=ab,所以f(t)=4t+t在?0,8?
??1?1?17
单调递减,所以f(t)min=f?8?=2.此时a=2b=2.
??
4