发布时间 : 星期三 文章中考数学复习 专题31 圆的基本性质试题(A卷,含解析)更新完毕开始阅读
B F
A
D
H
C
E
⑶过F作FM⊥AE交AE于点M． ∵AF平分∠BAC，∴∴EM＝
2
EFAE8xEF2FMEMEF2＝＝＝2，∴＝，∵BH∥FM，∴△EFM∽△EBH，∴＝＝＝，BFAB4xBE3BHEHBE32162824248EH＝x，FM＝BH＝x，∴AM＝AE－ME＝x，在Rt△AFM中AM2＋FM2＝AF2，即(x)2＋(x)2335555510310，∴⊙C的半径r＝3x＝． 88＝2，解得x＝B F
A
D
H
C M
E
【解后反思】（1）圆中涉及到直角问题时，通常运用直径所对圆周角是直角构造直角三角形； （2）在解决直角三角形求值问题时，通常运用面积法已知三边求斜边上的高；
（3）求线段的长度有以下常用的方法：用勾股定理——适用于直角三角形；用相似三角形——适用于有相似三角形的图形中．
【关键词】勾股定理；圆心角、圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质；方程与函数思想
5. （四川达州，22，8分）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F. (1)求证：AE?BC=AD?AB；
3
(2)若半圆O的直径为10，sin∠BAC=，求AF的长.
5
【逐步提示】本题考查了圆的性质、相似三角形的性质和判定、解直角三角形.解题的关键是掌握圆的性质，构造直角三角形求线段AF的长.解题的思路是：（1）证明△ADE∽△BCA，再根据相似三角形对应边成比例可证；（2）过点D作DG⊥AB，由已知可依次求得OD，AD，DG，AG，BG..由已知有△BDG∽△BFA，由相似三角形的对应边成比例易求AF. 【详细解答】解：（1）证明：∵AB是直径，∴∠C＝90°，∠CAB＋∠ABC＝90°. ∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°. ∵OD⊥AC，∴∠CAB＋∠AOE＝90°. ∴∠AOE＝∠ABC，∠OAE∠C.
AEAD
∴△ADE∽△BCA，∴＝.即AE?BC=AD?AB.
ABBC（2）如图，过点D作DG⊥AB，
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在Rt△AOD中，OA＝AB＝5，sin∠BAC=，
25322∴OD＝5×＝3，AD＝5-3＝4.
5
312
在Rt△ADG中，DG＝AD?sin∠BAC=4×=，
55161634∴AG＝. ∴BG＝10-＝. 555
∵∠BGD＝∠BAF＝90°，∠DBG＝∠FBA， DGBG
∴△BG∽△BFA. ∴＝.
AFAB12345560∴＝. ∴AF＝. AF1017
【解后反思】求线段的长度有以下常用的方法：用勾股定理——适用于已知两边的直角三角形中；用相似三角形的性质——适用于有相似三角形的图形中，锐角三角函数求线段的长度——适用于已知一边及一角的三角函数值．
【关键词】圆的切线的性质定理；圆周角定理的推论；相似三角形的性质和判定；解直角三角形
6. （四川省广安市，25，9分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、C两点且与BC边交于点E.点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD，交线段EO于点F，若AB＝BF.
（1）求证：AB是⊙O的切线；（3分）
（2）若CF＝4，DF＝10，求⊙O的半径r及sinB.（6分）
【逐步提示】本题考查了圆的性质及切线的判定，解题的关键是掌握切线的判定方法及解直角三角形的方法.（1）连接OD，利用等边对等角，通过角的转换，得出∠OAF 与∠BAF的和为90°，从而证明AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ODF中利用勾股定理可求得r的长，从而可求OF的长，在Rt△ABO中利用勾股定理可求得BO的长，从而求出sinB.
【详细解答】证明：连接AO、DO. ∵D为CE的下半圆弧的中点， ∴∠EOD＝90°.
∵AB＝BF，OA＝OD＝r，
∠BAF＝∠BFA＝∠OFD，∠OAD＝∠ADO
∴∠BAF＋∠DAO＝∠OFD＋∠ADO＝90°即∠BAO＝90° ∴AB是⊙O的切线.
（2）∵OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝10，
在Rt△OFD中，OF＋OD＝DF即r＋(4－r)＝（10）即r1＝3,r2＝1（舍去）
2
2
2
2
2
2
∴半径r＝3
∴OA＝3，OF＝CF－OC＝4－3＝1，∴BO＝BF＋FO＝AB＋1
222222
在Rt△ABO中，AB＋AO＝BO即AB＋3＝（AB＋1） ∴AB＝4，BO＝5 ∴sinB＝
AO3?. BO5【解后反思】判别直线是圆的切线有两种方法，如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心，证明半径垂直于直线即可；如果直线与圆没有交点，则过圆心作直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径即可. 【关键词】切线的判定；锐角三角函数；勾股定理；方程思想 7 （四川省凉山州，27，8分）如图，已知四边形ABCD内接于与
O，A是BDC的中点，AE?AC于A，
O及CB的延长线交于点F、E，且BF?AD.
（1）求证：△ADC∽△EBA；
（2）如果AB?8，CD?5，求tan?CAD的值.
【逐步提示】（1）根据等弧等条件找出两组相等的角，证明两个三角形相似；（2）通过相似三角形的性质将∠CAD转化为∠AEB，在Rt△AEC中考虑tan∠AEB，从而求出tan∠CAD. 【详细解答】解：（1）∵四边形ABCD内接于O，∴∠D+∠ABC=180°，又∠ABC+∠ABE=180°，∴∠D=∠ABE；∵BF?AD，∴∠BAE=∠ACD，∴△ADC∽△EBA. （2）∵△ADC∽△EBA，∴
CDAB58 ，∠AEB=∠CAD；∵A是BDC的中点，∴AB=AC=8，∴= ，即?ACAE8AE64AC85 ，又AE⊥AC，∴∠BAC=90°，∴tan∠CAD=tan∠AEB=AE??? 5AE6485求，所题也连接
【解后反思】题中∠CAD并没有处于一个直角三角形中，三角函数值不易以就必须将∠CAD转化为与之相等的∠AEB，这样做是因为∠AEB是Rt△AEC的一个锐角，容易通过三角函数的概念求出三角函数值.同时本可以采用以下方法构造直角三角形：连接AO并延长与O相交于点M，
DM，则∠AMD=∠ACD且△AMD为直角三角形（∠ADM=90°），如图所示.
M【关键词】三角形相似的判定与性质；锐角三角函数的定义；圆内接四边形及性质；
8 （ 四川省雅安市，24，10分）如图1，AB是⊙O的直径，E是 AB 延长线上一点，EC切⊙0于点C，连接AC，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点 D. (1)求证：△PCD是等腰三角形；
(2)CG⊥AB于H点, 交⊙O于G点,过B点作BF∥EC, 交⊙O于点F, 交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE ==5,求 AF的值.
3,CQ 5
【逐步提示】本题考查了等腰三角形的性质和判定、平行线的性质、切线的判定、锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握切线的判定方法以及圆中长度计算的方法．
(1) 连接OC，则OC垂直DE,可证∠3=∠4=∠5，即△PCD是等腰三角形；（2）连接BC，证CQ=BQ=5，因BF∥EC,得sin∠ABF=sinE =
3,求得QH=3，BH=4，设⊙0的半径为 r，在Rt△OCH中用勾股定理求出r,再在Rt△ABF中，5用锐角三角函数定义求出AF的长.
【详细解答】解：(1)证明：如图1所示，连接OC
∵EC切⊙0于点 C
∴OC⊥DE，∴∠1 +∠3 =90° ① 又∵OP⊥OA,∴∠2 +∠4=90° ② ∵OA=OC,∴∠1 =∠2 ③ 由①②③可得，∠3 =∠4
又∵∠4 =∠5，∴∠3=∠5，∴DP =DC， 即△PCD为等腰三角形.
(2)解：如图2所示，连接BC
∵EC切⊙0于C点 ∴∠1 +∠2 =90°①