发布时间 : 星期一 文章2021高考数学人教版一轮复习练习：第五章 第2节 等差数列及其前n项和更新完毕开始阅读
?1?12
anan＋1an＋2，可得＋＝，故数列?a?是等差数列．
a?n?nan＋2an＋1
1
?1?
设数列?a?的公差为d.
?n?
111
因为a3＝2a8＝，所以＝5，＝10，
5a3a811
所以－＝5＝5d，即d＝1，
a8a3
11
故＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2， ana31
故an＝.
n＋2
111an
(2)解：由(1)可知bn＝＝·＝
222n＋6（n＋2）（n＋3）
?11?
??－?n＋2n＋3?， ??
111111?1?n?－＋－＋…＋?－故Sn＝?3445＝. n＋2n＋3?2??6（n＋3）
10．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
Sn
(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并
n求其前n项和Tn.
(1)解：设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
k（k－1）k（k－1）
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.
22由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. n（2＋2n）
(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，
2Sn
则bn＝＝n＋1，
n
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列， n（2＋n＋1）n（n＋3）
所以Tn＝＝. 22
[B级 能力提升]
Sn＋1n＋1
11．(2020·珠海联考)已知数列{an}中，a1＝1，＝，则数列
Snn{an}( )
A．既非等差数列，又非等比数列 B．既是等差数列，又是等比数列 C．仅为等差数列 D．仅为等比数列
Sn＋1n＋1Snn
解析：数列{an}中，＝，则＝(n≥2)，
SnnSn－1n－1n－1S22SnSn－1n
则Sn＝××…××S1＝××…××1＝n(n≥
S11Sn－1Sn－2n－1n－2
2)，当n＝1时，S1＝a1＝1符合，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝1，当n＝1时，a1＝1符合，故an＝1(n∈N*)，
则数列{an}为非零的常数列，它既是等差数列，又是等比数列． 答案：B
12．(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5
＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝－3，S5＝－10，
??a1＋d＝－3，所以? 5×4
??5a1＋2d＝－10，?a1＋d＝－3，?a1＝－4，即?得? ?a1＋2d＝－2，?d＝1，
n（n－1）n2－n
所以a5＝a1＋4d＝0，Sn＝na1＋d＝－4n＋＝
229?281121?
(n－9n)＝?n－2?－， 22?8?
因为n∈N*，所以n＝4或n＝5时，Sn取最小值，最小值为－10. 答案：0 －10
13．已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．
2*(1)设cn＝b2n＋1－bn，n∈N，求证：数列{cn}是等差数列；
2n
n
(2)设a1＝d，Tn＝?
k＝0
2
(－1)kbk，n∈N*，求证：
k＝0
? Tk<2d2. 11
22
证明：(1)由题意得b2an＋2－anann＝anan＋1，有cn＝bn＋1－bn＝an＋1·＋1＝2dan＋1，因此
cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，
所以{cn}是等差数列．
22222(2)Tn＝(－b21＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－b2n－1＋b2n)
＝2d(a2＋a4＋…＋a2n) n（a2＋a2n）＝2d·
2＝2d2n(n＋1)．
11?11n11n??－?所以? ＝2? ＝2? ?k?＝ Tk2dk＋12dk（k＋1）??
nk＝0
k＝0
k＝0
1?1??1－?1·?<2d2. n＋12d2???
[C级 素养升华]
14．(多选题)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝24，则( )
A．a6＋a7＝4 C．a6a7≥4
B．a6＋a7＝12 D．a6a7≤4
解析：在等差数列{an}中，因为S12＝6(a6＋a7)＝24， 所以a6＋a7＝4.
?a6＋a7?2
?
又a6>0，a7>0，所以a6a7≤???＝4，当且仅当a6＝a7＝2时，
?2?
“＝”成立．故选AD.