发布时间 : 星期一 文章上海市虹口区2018届高三下学期高质量调研（二模）数学试（含解答）更新完毕开始阅读
实用标准
上海市虹口区2018届高三二模数学试卷
2018.04
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知A?(??,a]，B?[1,2]，且AIB??，则实数a的范围是 【解析】画数轴，a?1
2. 直线ax?(a?1)y?1?0与直线4x?ay?2?0互相平行，则实数a? 【解析】由a2?4(a?1)?0?a?2 3. 已知??(0,?)，cos???，则tan(??【解析】tan???，∴tan(??35?4)?
43?1)?? 474. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为?、?、?，则
cos2??cos2??cos2??
【解析】设三边为a、b、c，对角线为d，∴a2?b2?c2?d2
a2?b2b2?c2c2?a222222cos??cos??cos??2 cos??cos??cos??，，，∴222ddd2也可取正方体的特殊情况去求
??x2x?05. 已知函数f(x)???x，则f?1[f?1(?9)]? ?2?1x?0【解析】f?1(x)?????x,x?0，f?1(?9)?3，f?1[f?1(?9)]?f?1(3)??2
???log2(x?1),x?06. 从集合{?1,1,2,3}随机取一个为m，从集合{?2,?1,1,2}随机取一个为n，则方程
x2y2??1表示双曲线的概率为 mn3?2?1?21【解析】?
4?427. 已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a2、a4、a3成等差数列，则q? 1 22368. 若将函数f(x)?x6表示成f(x)?a0?a1(x?1)?a2(x?1)?a3(x?1)?????a6(x?1)，则a3的
2【解析】a2?a3?2a4?2q?q?1?0，∴q?1或q??值等于
3【解析】x6?[(x?1)?1]6，a3?C6?20
9. 如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的边长AB?AA1?1，
AD?2，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面
文档大全
实用标准
距离等于
【解析】外接球半径为1，???3，球面距离为
? 3mn 210. 椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为11. [x]是不超过x的最大整数，则方程(2x)2?7x1?[2]??0满足x?1的所有实数解是 4411【解析】当0?x?1，[2x]?1，∴(2x)2?2?x?；当x?0，[2x]?0，(2x)2?，
24∴x??1，∴满足条件的所有实数解为x?0.5或x??1
12. 函数f(x)?sinx，对于x1?x2?x3?????xn且x1,x2,???,xn?[0,8?]（n?10），记
M?|f(x1)?f(x2)|?|f(x2)?f(x3)|?|f(x3)?f(x4)|?????|f(xn?1)?f(xn)|，则M
的最大值等于
【解析】在[0,8?]有4个周期，最大值为4?4?16
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）
A. f(x)?x?1 B. f(x)?sinx?cosx C. f(x)?arccosx D. f(x)??【解析】由f(?x)??f(x)，选B
14. 在Rt?ABC中，AB?AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运
?xx?0
?xx?0?uuuruuuruuuuruuur动且满足PC?k?BC，当PM?PN取得最小值时，实数k的值为（ ）
1111A. B. C. D.
3824uuuuruuur9【解析】建系，设P(x,3?x)，M(1,0)，N(2,0)，PM?PN?2x2?9x?11，x?[0,3]，∴x?4PC1时取到最小值，此时k??，选C
BC42215. 直线l:kx?y?k?1?0与圆x?y?8交于A、B两点，且|AB|?42，过点A、B分别作l的垂线与y轴交于点M、N，则|MN|等于（ ）
A. 22 B. 4 C. 42 D. 8
【解析】AB长为直径，∴l:kx?y?k?1?0经过原点，k??1，MN?2AB?8，选D 16. 已知数列{an}的首项a1?a，且0?a?4，an?1??项和，则以下结论正确的是（ ）
文档大全
?an?4an?4，Sn是此数列的前n
?6?anan?4实用标准
A. 不存在a和n使得Sn?2015 B. 不存在a和n使得Sn?2016 C. 不存在a和n使得Sn?2017 D. 不存在a和n使得Sn?2018
【解析】令a1?1，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B、C；令a1?2，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D，故选A.
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB?AC?1，?BAC?点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1?AM1N2的体积； （2）求异面直线A1N2、AM1所成的角的大小.
?2，高等于3，
13113?3?；VA1?AM1N2?VM1?A1AN2???1?
32222?（2）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为
3【解析】（1）V?
18. 已知?ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，z?cosA?i?sinA（i是 虚数单位）是方程z2?z?1?0的根，a?3. （1）若B??4（2）求?ABC面积的最大值.
【解析】（1）解为
，求边长c的值；
136?32?； ?i，∴A?，由正弦定理b?6，c?222393（2）画出△ABC的外接圆可知，AB?AC?3时，面积最大，为.
4
19. 平面内的“向量列” {an}，如果对于任意的正整数n，均有an?1?an?d，则称此“向量列”为“等差向量列”， d称为“公差向量”，平面内的“向量列” {bn}，如果对于任意的正整数n，均有bn?1?q?bn（q?0），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q称为“公比”.
uuruuuruuruurururuuuruururuuruuruuruuruurad（1）如果“向量列” {an}是“等差向量列”，用1和“公差向量” 表示a1?a2?????an；
uururuuruuruur（2）已知{an}是“等差向量列”，“公差向量” d?(3,0)，a1?(1,1)，an?(xn,yn)，{bn}是“等
uruuruururuuruuruuruur比向量列”，“公比” q?2，b1?(1,3)，bn?(mn,kn)，求a1?b1?a2?b2?????an?bn.
uuruuruuruurn(n?1)ur【解析】（1）a1?a2?????an?na1?d；
2文档大全
实用标准
uurur（2）an?bn?(3n?2,1)?(2n?1,3?2n?1)?(3n?1)?2n?1，错位相减求和为(3n?2)?2n?2
x220. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C:?y2?1，
2点M(m,n)是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”.
（1）证明：过椭圆C上的点M(m,n)的“切线”方程是
mx?ny?1； 2（2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M(m,n)不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线” l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点； （3）点M(m,n)不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，判断过M的椭圆C的“切线”
l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等？并说明理由.
【解析】（1）设直线y?k(x?m)?n， 联立椭圆，??0，可证结论； （2）lMA:y?∴yP?n(x?2)，
m?22n?2n1，同理yQ?，yD?
nm?2m?2?4n2??2yD，即点D是线段PQ的中点 2m?2nnn?m（3）相等，kMF1?，kMF2?，k切?，由夹角公式
m?1m?12nkMF1?k切kMF2?k切11，tan?1?||?tan?2?||?，所以所成夹角相等.
1?kMF1k切n1?kMF2k切nyP?yQ?
21. 已知函数f(x)?ax3?x?a（a?R，x?R），g(x)?x（x?R）. 31?x?34（1）如果x?是关于x的不等式f(x)?0的解，求实数a的取值范围；
2?34?34（2）判断g(x)在(?1,]和[,1)的单调性，并说明理由；
22（3）证明：函数f(x)存在零点q，使得a?q?q?q?????q3?344)?0?a??【解析】（1）f(； 23473n?2?34????成立的充要条件是a?. 3?34?34]上递减，在[,1)上递增； （2）根据单调性定义分析，在(?1,22（3）“函数f(x)存在零点q，使得a?q?q4?q7?????q3n?2????成立”说明
文档大全
实用标准
a?q473n?2?q?q?q?????q????成立，根据无穷等比数列相关性质，q?(?1,1)， 31?qq?34?34结合第（2）问，a?在(?1,]上递减，在[,1)上递增， 31?q223q?344)?g()??∴a?(，反之亦然. min1?q323
文档大全