发布时间 : 星期六 文章2020年高考数学（文）冲刺突破专题02 突破数列解答题的瓶颈（含答案）更新完毕开始阅读
突破数列解答题的瓶颈
-------------------------------把握考点 明确方向------------------------------- 时间 Ⅰ卷 2019 等差数列的通项与求和 Ⅱ卷 Ⅲ卷
------------------------------- 导图助思 快速切入-------------------------------
数列问题重在“归”——化归
数列求和（文） 2018 数列的通项公式 等差数列的通项与求和 等比数列的通项与求和 2017 等比数列的通项等差数列的证明 数列的通项与求和 数列的通项与求和 新定义数列，数列的通项与求和 等比数列与求和 2016 等差数列的通项与求和 2015 等差数列的运算
-------------------------------知识整合 易错题示-------------------------------
知识整合
1.活用定理与结论
(1)等差、等比数列{an}的常用性质
等差数列 ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q， 性质 则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)?{an}是等差数列；
②通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)?{an}是等差数列； ③中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列；
④前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)?{an}是等差数列.
等比数列 ④若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； ⑤an＝am·qnm； ⑥Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0) －
(3)判断等比数列的常用方法
an＋1
①定义法：＝q(q是不为0的常数，n∈N*)?{an}是等比数列；
an
②通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)?{an}是等比数列；
*
③中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N)?{an}是等比数列.
2.数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.
(2)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和. c(3)通项公式形如an＝(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和.
?an＋b1??an＋b2?
(4)通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.
(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.
(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.
1.已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示.作答时，应验证a1是否满足an＝Sn
??S1，n＝1，－Sn－1，若是，则an＝Sn－Sn－1；否则，an＝?
?Sn－Sn－1，n≥2.?
2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±ab.
3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{an}与{bn}的Snn＋1an
前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求时，无法正确赋值求解.
Tn2n＋3bn
4.易忽视等比数列中公比q≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解. 5.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论. 6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项. 7.裂项相消法求和时，裂项前后的值要相等， 如
1111111≠－，而是＝(?).
n?n＋2?nn＋2n?n＋2?2nn?28.通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式.
-------------------------------典例分析 能力提升------------------------------ (本题满分12分)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等典例 比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*). (1)要求{an}和{bn}的通项公式∈需求{an}的首项a1和公差d；{bn}的首项b1和公比审题 路线 q. (2)由(1)知a2nb2n－1＝(3n－1)4n∈分析a2nb2n－1的结构：{3n－1}是等差数列，{4n}是等比数列∈符合错位相减法求和的特点. 标准答案 (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12， 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.∈ n阅卷现场 得∈ 分 源:Zxxk.Com][来[来源:Z§xx§k.Com]第(1)问 ∈[来源学_科_网Z_X_X_K][来源学第(2)问 ∈[来源:Zxxk.Com]∈ ∈ ∈ ∈ ∈ 2 1 1 1 1 6分 ∈ 1 科网]2 1 2 又因为q＞0，解得q＝2，所以bn＝2.∈ 由b3＝a4－2a1， 可得3d－a1＝8(∈) 化归成基本量. 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16(∈). 联立(∈)(∈)，解得a1＝1，d＝3，∈ 由此可得an＝3n－2.∈ 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2， 数列{bn}的通项公式为bn＝2n. 点 6分 第(1)问踩点得分说明 ∈正确求出q2＋q－6＝0得2分； ∈根据等比数列的通项公式求出通项公式bn＝2n得1分，通项公式使用错误不得分； ∈求出a1＝1，d＝3得2分； ∈根据等差数列的通项公式求出通项公式an＝3n－2得1分，通项公式使用错(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，误不得分. b2n－1＝2×4n1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，∈ 故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，(*)∈ 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n1，(**)∈ (*)－(**)得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n 化归成等比数列 －(3n－1)×4n1＝－(3n－2)×4n1－8.∈ 3n－2n＋18得Tn＝×4＋.∈ 333n－2n＋18所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4＋. 33
-------------------------------高考真题 把握规律-------------------------------
1．（2019?新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
＋＋＋－第(2)问踩点得分说明 ∈正确写出a2nb2n－1＝(3n－1)×4n得1分； ∈正确写出Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n得1分； ∈正确写出4Tn得1分； ∈由两式相减得出－3Tn＝－(3n－2)×4n＋1－8正确得2分，错误不得分； 3n－2n＋18∈正确计算出Tn＝×4＋得133分.
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 【解析】（1）设?an?的公差为d． 由S9??a5得a1?4d?0． 由a3=4得a1?2d?4． 于是a1?8,d??2．
因此?an?的通项公式为an?10?2n．
（2）由（1）得a1??4d，故an?(n?5)d,Sn?2n(n?9)d. 2由a1?0知d?0，故Sn?an等价于n?11n?10?0，解得1≤n≤10． 所以n的取值范围是{n|1?n?10,n?N?}．
2．（2019?新课标Ⅱ理）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an?1?3an?bn?4，4bn?1?3bn?an?4. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式.
【解析】（1）由题设得4(an?1?bn?1)?2(an?bn)，即an?1?bn?1?又因为a1+b1=l，所以?an?bn?是首项为1，公比为
1(an?bn)． 21的等比数列． 2由题设得4(an?1?bn?1)?4(an?bn)?8，即an?1?bn?1?an?bn?2． 又因为a1–b1=l，所以?an?bn?是首项为1，公差为2的等差数列．
1，an?bn?2n?1． n?12111所以an?[(an?bn)?(an?bn)]?n?n?，
222111bn?[(an?bn)?(an?bn)]?n?n?．
222（2）由（1）知，an?bn?3．（2019?新课标Ⅱ文）已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1?2,a3?2a2?16. （1）求{an}的通项公式；
（2）设bn?log2an，求数列{bn}的前n项和．