发布时间 : 星期三 文章2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第51讲 双曲线更新完毕开始阅读
第6讲 双曲线
1.双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0. (1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线. (2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线. (3)当2a>|F1F2|时,P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2y2-=1 a2b2(a>0,b>0) y2x2-=1 a2b2(a>0,b>0) 图 形 范围 对称性 顶点 渐近线 性 质 实虚轴 离心率 x≥a或x≤-a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R 对称轴:坐标轴,对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) by=±x ace=,e∈(1,+∞) a线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长 A1(0,-a),A2(0,a) ay=±x ba、b、c 的关系 3.等轴双曲线及性质 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) (1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线,其标准方程可写作:x2-y2=λ(λ≠0).
(2)等轴双曲线?离心率e=2?两条渐近线y=±x相互垂直.
导师提醒
关注双曲线的几个常用结论
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
2b2
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为,异支的弦中最短a的为实轴,其长为2a.
4.设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB斜率b2
存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为2.
a
5.P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则S△PF1F2=b2·
1
,其中θ为∠F1PF2.
θtan2
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)椭圆的离心率e∈(0,1),双曲线的离心率e∈(1,+∞).( ) x2y2
(3)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
mn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
(教材习题改编)双曲线2x2-y2=8的实轴长是( ) A.2 C.4
2
2
B.22 D.42
x2y2
解析:选C.双曲线2x-y=8的标准方程为-=1,故实轴长为4.
48 (教材习题改编)双曲线方程x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( ) A.?
?
2?,0 2?6?,0 2?
B.?
?
5?,0
2?
C.?
?
D.(3,0)
x2y2
解析:选C.因为原方程可化为-=1,
11
2
136
所以a2=1,b2=,所以c2=a2+b2=,所以右焦点坐标为?,0?.
22?2?
x2y2
若方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是________.
2+mm+1
x2y2
解析:因为方程-=1表示双曲线,所以(2+m)(m+1)>0,即m>-1或m<-2.
2+mm+1答案:m>-1或m<-2
x2y2
设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则
1620|PF2|=________.