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中考数学易错题专题训练-直角三角形的边角关系练习题及答案解析
一、直角三角形的边角关系
1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD， ∠ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP，EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在
BAC 的平分线上？
（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t=4s；（2）S四边形PEGO??t?382155t?6 ，(0?t?5)；（3）t?时，
28S四边形PEGO取得最大值；（4）t?【解析】 【分析】
16时，OE?OQ. 5（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．
（2）根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．
（4）证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出可解决问题． 【详解】
（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm， ∴AC=102?82=6（cm）， ∵OD垂直平分线段AC， ∴OC=OA=3（cm），∠DOC=90°， ∵CD∥AB，
ECGQ?，由此构建方程即OCOG∴∠BAC=∠DCO， ∵∠DOC=∠ACB， ∴△DOC∽△BCA， ∴∴
ACABBC??， OCCDOD6108??， 3CDOD∴CD=5（cm），OD=4（cm）， ∵PB=t，PE⊥AB， 易知：PE=
35t，BE=t，
44当点E在∠BAC的平分线上时， ∵EP⊥AB，EC⊥AC， ∴PE=EC，
35t=8-t，
44∴t=4．
∴
∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上． （2）如图，连接OE，PC．
S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC） =
?11?4?4?1?5?31??5???4?t??3???3??8?t????8?t??t??3??8?t? 2?5?4?524??5?2???283215t?16(0?t?5)． 3（3）存在．
=?t?8?5?68∵S???t???(0?t?5)，
3?2?32568时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．
32（4）存在．如图，连接OQ． ∵OE⊥OQ，
∴t=
∴∠EOC+∠QOC=90°， ∵∠QOC+∠QOG=90°， ∴∠EOC=∠QOG， ∴tan∠EOC=tan∠QOG， ∴
ECGQ?， OCOG35t8?t4?5， ∴
434?t5整理得：5t2-66t+160=0， 解得t?∴当t?16或10（舍弃） 516秒时，OE⊥OQ． 5【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE；
（2）若KG2=KD?GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=
，求FG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= 【解析】
试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；
．
（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD?GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；
（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度． 试题解析：（1）如图1，连接OG．
∵EG为切线， ∴∠KGE+∠OGA=90°， ∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°， 又∵OA=OG， ∴∠OGA=∠OAG， ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE， ∴KE=GE．
（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．
∵KG2=KD?GE，即∴
，
，
又∵∠KGE=∠GKE， ∴△GKD∽△EGK， ∴∠E=∠AGD， 又∵∠C=∠AGD， ∴∠E=∠C， ∴AC∥EF；
（3）连接OG，OC，如图3所示，