发布时间 : 星期六 文章高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比3.1.2类比推理知识导航素材北师大版选修12更新完毕开始阅读
1.2 类比推理
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1.两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为___________. 2.___________之间的推理. 3.类比推理是两类事物利用类比推理得出的结论___________（填“一定”或“不一定”）正确. 水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背 4.根据解决问题的需要，可对___________、___________、___________进行类比. 5.___________和___________是最常见的___________，___________是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理公式. 高手笔记
1.类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程.学习立体几何常常要类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论.
2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来.的学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.
3.合情推理只是一种猜测，结论不一定正确. 名师解惑
合情推理的结果不一定正确，但合情推理是科学发现和创造的基础，你如何看待这一问题？
剖析:数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到，合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来.这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，最后要证明命题或定理，还需运用严格的逻辑分析与演绎推理，即“收敛思维”. 讲练互动
【例1】一个等差数列{an}，其中a10=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(1≤n≤19)，一个等比数列{bn}，其中b15=1,类比等差数列{an}有下列结论：___________.
分析:在等差数列{an}中，a10=0,已知以a10为等差中项的项和为0，如a9+a11=a8+a12=…=a2+a18=a1+a19=0，而在等比数列{bn}中，b15=1,类似地有b1b29=b2b28=…=b14b16=1,从而类似的总结规律应为各项之积.
解:∵在等差数列{an}中，a10=0, ∴a1+a19=a2+a18=…=a8+a12=a9+a11=0, 即a19-n+an+1=0,a18-n+an+2=0,a17-n+an+3=0, …
∴a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a19-n. ∵b15=1,∴b1b29=b2b28=…=b14b16=1, 即b29-nbn+1=b28-nbn+2=…=b14b16=1.
∴有b1b2…bn=b1b2…b29-n(1≤n≤29,n∈N+). 绿色通道
本题考查了等差中项、等比中项和等差数列、等比数列的性质及观察判断、猜想类比的
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能力.对于等差数列、等比数列有许多类似的性质，可结合定义进行类比. 变式训练
1.已知等差数列{an}，公差为d,前n项和为Sn，有如下性质： （1）通项an=am+(n-m)d.
(2)若m+n=p+q,其中m、n、p、q∈N+,则am+an=ap+aq. (3)若m+n=2p,m、n、p∈N+，则am+an=2ap. (4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列. 类比得出等比数列的性质.
解:等比数列{bn},公比为q,前n项和Sn,有如下性质:
n-m
(1)通项an=amq.
(2)若m+n=p+q,其中m、n、p、q∈N+,则am·an=ap·aq.
2
(3)若m+n=2p,q、m、n∈N+,则am·an=ap. (4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.
【例2】若射线OM、ON上分别存在点M1、M2与N1、N2，则三角形面积之比为
S?OM1N1S?OM2N2?OM1ON1·. OM2ON2 若不在同一平面内的射线OP、OQ和OR上，分别存在点P1、P2，点Q1、Q2，点R1、R2，则类似的结论是什么？
分析:本题已知三角形的面积之比需弄清楚点分得到的结论，然后才能类比得结论扩展到空间的问题.
解:∵
S?OM1N1S?OM2N21OM1?ON1sin?M1ON1OM1?ON22=， ?1OM2?ON2OM2?ON2sin?M2ON22
其面积比中有一个共同的角，类似地，连结P1Q1、Q1R1、P1R1、P2Q2、Q2R2、P2R2，得到的是锥体，需研究锥体的体积并找出不变量，两条相交线确定一个面，另一条线不在这个面内就有线面角，而线面角不随点的位置变化而变化，设OP与面QRO所成的角为θ.OP在面ORQ内的射影为OP′，P1、P2的射影分别为P1′、P2′，则
P1P1'P2P2'=sinθ，且?OP'OP2 2
S?OQ1R1S?OQ2R2?OQ1?OR1.
OQ2?OR2∴
VOP1Q1R1VOP2Q2R21P1P1'?S?OQ1R1OPOQ1?OR11·. ?3?1OP2OQ2?OR2P2P2'?S?OQ2R23VOP1Q1R1VOP2Q2R2?OP1OQ1?OR1·. OP2OQ2?OR2∴类似地有
绿色通道
要准确地得到相似的结论，需先弄清楚前面的结论是怎么得到的，才能类似地推出.一般地平面内的面积问题推广到空间内为体积问题，平面内的线段问题，推广到空间为面积问题.
变式训练
2.三角形的面积为S=
1(a+b+c)r,a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利2用类比推理，求出四面体的体积公式. 解:V=
1(S1+S2+S3+S4)r(S1、S2、S3、S4分别为四个面的面积,r为内切球半径), 3
设△ABC的三边与⊙O分别切于D、E、F, 则OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB且OD=OE=OF=r. 连结OA、OB、OC, 则S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=
1111cr+br+ar=(a+b+c)r. 2222类似地,三棱锥P—ABC的内切球为球O,半径为r,则球心O到各面的距离都为r,
四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,
则VP—ABC=VO—ABC+VO—PBC+VO—PAC+VO—PAB
1111S1r+S2r+S3r+S4r 33331=(S1+S2+S3+S4)r. 3=
3
a?a2a?a22
【例3】若a1、a2∈R，则有不等式1≥(1)成立，此不等式能推广吗？请你
22+
22至少写出两个不同类型的推广.
分析:注意观察不等式两边的结构，两个数的平方，若三个数、四个数、n个数怎样变化呢？若次数为三次、四次、n次又怎样变化呢？注意思维要发散开.
a?a2?a32a?a2?a3解:第一种类型：1≥(1)，
33222a1?a2?a3?a4a?a2?a3?a42
≥(1)，
44…
2222a1?a2???ana?a2?a3???an2
≥(1).
nna?a2a?a23
第二种类型：1≥(1)，
22a1?a2a?a24
≥(1)，
22…
4433222a1?a2a?a2n
≥(1).
22a?a2?a3a?a2?a33
第三种类型：1≥(1)，
33…
333nna1?a2???ana?a2???ann
≥(1).
nn绿色通道
像这样的类比推广的问题，可采用纵、横推广法，如本例中，第一种类型是从个数上进行推广——横向推广；第二种类型是从指数上进行推广——纵向推广；第三种类型则是纵、横综合推广. 变式训练
3.设f(x)(x∈［a,b］)满足
nnnf(x1)?f(x2)x?x2≤f(1)(其中x1、x2为［a,b］上任意两
22点)，你能将此不等式推广吗？
解:设在［a,b］上任意n个点x1,x2,x3,…,xn,
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