发布时间 : 星期六 文章高二数学知抛物线习题精选精讲更新完毕开始阅读
抛物线
（1）抛物线——二次曲线的和谐线
椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.
【例1】P为抛物线
y2?2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.位置由P确定
【解析】如图，抛物线的焦点为F??p?,0?，准线是 ?2?YHQ，
PM2l:x??且
p2.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么PF?PHNQH?OF?中位线，
p.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的 2111MN??OF?PQ??PH?PF.故以
222OF(p,0)l:x=-p2XPF为直径的圆与y轴相切，选B.
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.
（2）焦点弦——常考常新的亮点弦
y2=2px有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例2】 过抛物线
y2?2px?p?0?的焦点F作直线交抛物线于A?x1,y1?,B?x2,y2?两点，求证：
112??AFBFpp2
（1）
AB?x1?x2?p （2）
【证明】（1）如图设抛物线的准线为l，作
AA1?lA1,BB1?l于B1，则AF?AA1?x1?pBF?BB1?x2?.两式相加即得：
2，
YA1A(x,y)11XAB?x1?x2?p
（2）当AB⊥x轴时，有
?AF?BF?p，112??成立； AFBFpFB1B(x,y)22l当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：
p??y?k?x??.代入抛物线方程：
2??p22p?2222?k?0k?x???2px.化简得：kx?p?k?2?x?42??2?1?
k2∵方程（1）之二根为x，x，∴x?x2?141
2
.
x1?x2?p111111??????pp2AFBFAA1BB1x?px?px1x2??x1?x2??122224x1?x2?px1?x2?p2??. pp2pp2p?x1?x2?p???x1?x2??2424
?故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有
112??AFBFp成立.
（3）切线——抛物线与函数有缘
有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功. 【例3】证明：过抛物线
y2?2px上一点M（x，y）的切线方程是：yy=p（x+x）
0
0
0
0
【证明】对方程
?y??y2?2px两边取导数：2y?y??2p，p.切线的斜率 yk?y?x?x0?py0.由点斜式方程：
y?y0?p?x?x0??y0y?px?px0?y02y00
?1?
2 yy=p（x+x） y0?2px0，代入（）即得：10
（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获. 例如：1.一动圆的圆心在抛物线（ ）A.y2?8x上，且动圆恒与直线
x?2?0相切，则此动圆必过定点
?4,0?B.?2,0?C.?0,2?D.?0,?2?
显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线
y2?2px的通径长为2p；
y2?2px过焦点的弦两端分别为A?x1,y1?,B?x2,y2?，那么：y1y2??p2
3.设抛物线
以下再举一例 【例4】设抛物线
y2?2px的焦点弦AB在其准线上的射影是AB，证明：以AB为直径的圆必过一定点
11
11
【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.
【证明】如图设焦点两端分别为那么：
A?x1,y1?,B?x2,y2?，
A1Y1Ay1y2??p2?CA1?CB1?y1y2?p2.
CF?p.
MCB1BFX设抛物线的准线交x轴于C，那么
2??A1FB1中CF?CA1?CB1.故?A1FB1?90?.
这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.
● 通法 特法 妙法
（1）解析法——为对称问题解困排难
解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（ ）
A.3 B.4 C.3
YBMAOX为
：
2 D.42
【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段 AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.
【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程
y??x. 由
l?x+y=0?y?x?m2?x?x?m?3?0?2?y??x?3设方程（1）之两根为x1，x2，则x1?x2?1?
??1.
.故有M设AB的中点为M（x0，y0），则x0?x1?x211??.代入x+y=0：y=
2220
?11???,?. ?22?从而m?y?x?1.直线AB的方程为：y?x?1.方程（1）成为：x2?x?2?0.解得：
x??2,1，从而y??1,2，故得：A（-2，-1），B（1，2）.?AB?32，选C.
（2）几何法——为解析法添彩扬威
虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.
【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线y方的部分相交于点
2?4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上
A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积（ ）
A．4 B．33 C．43 3时∠AFX=60°.
YKAD．8
【解析】如图直线AF的斜率为60°MOF(1,0)L:x=-1
X=2pxY2
△AFK为正三角形.设准线l交x轴于M，则FM?p?2,
且∠KFM=60°，∴
KF?4,S?AKF?32?4?43.选C. 4【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的 面积用公式S??32a计算. 4 （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.
（3）定义法——追本求真的简单一着
许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线
x2y2C1:2?2?1(a?0，b?0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的线为l，焦点为
abF2；C1与C2的一个交点为MA．?1
，则
F1F2MF1?MF1MF2等于（ ）
B．1 C．?1 2 D．
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【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.
如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c，离心率为e，作
MH?l于H，令
yMF1?r1,MF2?r2.∵点M在抛物线上，
Hr2Oa2cM(x,y)r?MH?MF2?r2,故??1?e，
MHMF2r2|MF1|这就是说：的实质是离心率e.
|MF2|其次，
MF1MF1r1F1(-c,0)l:x=-r2F2(c,0)x|F1F2|与离心率e有什么关系？注意到：
|MF1| F1F22ce?2ae?r1?r2??1?????e?1???e?1. MF1r1r1r1?e?|F1F2||MF1|???e?1??e??1.∴选 A..
|MF1||MF2| 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于