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线性代数习题及答案
习题一 （A类）
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n(n1)…321； (4) 13…(2n1)(2n)(2n【解】
(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n(n1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n1)=
2)…2.
n(n?1); 2(4) τ(13…(2n1)(2n)(2n2)…2)=0+1+…+(n1)+(n1)+(n2)+…+1+0=n(n1).
2. 求出j，k使9级排列24j157k98为偶排列。
解：由排列为9级排列，所以j,k只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j的逆序为1，5的逆序数为0，k的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j的逆序为0，5的逆序数为1，k的为4，不符合题意. 所以j=3、k=6.
3. 写出4阶行列式中含有因子a22a34的项。 解：D4=(?1)?(j1j2j3j4)a1j1a2j2a3j3a4j4
j3?4.
由题意有：j2?2,故j1j2j3j4?j124j4???1243 3241?D4中含的a22a34项为：(?1)?(1243)a11a22a34a43?(?1)?(3241)a13a22a34a41
即为：?a11a22a34a43?a13a22a34a41
4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？ （1）a23a31a42a56a14a65；
解：a23a31a42a56a14a65?a14a23a31a42a56a65
因为?(431265)?6，(?1)?(431265)?(?1)6?1
所以该项带正号。 （2）a32a43a14a51a66a25
解：a32a43a14a51a66a25?a14a25a32a43a51a66 因为?(452316)?8，(?1)?(452316)?(?1)8?1
所以该项带正号。
5. 用定义计算下列各行列式.
02001230010L00100020002L(1)
3000； (2)
3045. （3）MMM00040001000Ln00L【解】(1) D=(1)
τ(2314)
4!=24; (2) D=12.
??a12?1?a23?2（3）由题意知：???M?an?1,n?n?1
??an,1?n??其余aij?0所以
Djn?(?1)?(j1j2Ln)a1j1a2j2a3j3Lanjn?(?1)?(234Ln1)a12a23a34Lan?1,nan1?(?1)n?1?1?2?3?L?(n?1)?n?
(23Ln1)?n?1?(?1)n?1?n!6. 计算下列各行列式.
214?1?ac?ae(1)
3?12?1ab123?2； (2) ?bdcd?de； 506?2?bf?cf?ef.\\
00M n?10.\\
a?1(3)
0?1c1500?1d0206?23?26?2?0;
； (4)
1234234134124123.
100b10【解】(1) Dr1?r23?12?1151(2) D?abcdef?1?1?11?1??4abcdef; ?1?1?10d1?1c1212010r2?r1r3?r1r4?r1b?1(3)D?a10c1?1?(?1)20?c?11?1???1?a?b??cd?1 1d0d??d314102103104?34?4?160.
0?abcd?ab?ad?cd?1;10234(4)D?c1?c2c1?c3c1?c4103411041210123?000?3r3?2r20?r?2?24?r2000?4?1?1?17. 证明下列各式.
a2abb23(1) 2aa?b2b?(a?b)；
111(2)
a2b2cd22(a?1)2(b?1)2(c?1)(d?1)2a32(a?2)2(b?2)2(c?2)(d?2)22(a?3)2(b?3)2(c?3)(d?3)222?0；
1a2 (3) 1b1aa21c2b3?(ab?bc?ca)1bb2 c31cc2.\\
aO(4) D2n?00Nb0?(ad?bc)n； 0Od00Ncabcd00(5)
1?a11L11?a2LM1M1n?1?n??1????ai. M?i?1ai?i?11?an11【证明】(1)
c1?c3(a?b)(a?b)b(a?b)b22(a?b)0a?ba?b0?(a?b)22b1a?bb21
左端?c2?c3?(a?b)(a?b)b(a?b)2(a?b)?(a?b)3?右端.a2c2-c1b2(2) 左端?2c3?c1cc4?c1d22a?12b?12c?12d?14a?44b?44c?44d?46a?96b?9c3-2c2?c?6c?943c26d?9a2b2c2d22a?12b?12c?12d?1222266?0?右端. 66(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:
f(x)?1xx21aa21bb1cc22x3a3bc33?(x?a)(x?b)(x?c)(a?b)(a?c)(b?c)(*)
从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为
1aa2(ab?bc?ac)(a?b)(a?c)(b?c)?(ab?bc?ac)1bb2,
1c但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故
c21a2(?1)1?11b21c2(4) 对D2n按第一行展开，得
a3b3, c3