发布时间 : 星期四 文章中考数学重难点专题讲座 一元二次方程与二次函数更新完毕开始阅读
2把抛物线
y??m?1?x??m?2?x?1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m-1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单. 解：（1）
???m?2?2?4?m?1??m2
∵方程有两个不相等的实数根, ∴m?0 ∵m?1?0,
∴m的取值范围是m?0且m?1.
（2）证明：令y?0得?m?1?x2??m?2?x?1?0. x???m?2??m2??m?2??m∴2?m?1??2?m?1?.
x?m?2?m1?∴
2?m?1???1，x?m?2?m12?2?m?1??m?1 (这样做是因为已经知道判别式是m2
,计算量比
较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了) ??1，0?，?∴抛物线与x轴的交点坐标为
?1??m?1，0??, ∴无论m取何值，抛物线y??m?1?x2??m?2?x?1总过定点??1，0?
1（3）∵x??1是整数 ∴只需m?1是整数. ∵m是整数，且m?0，m?1, ∴m?2
当m?2时，抛物线为
y?x2?1． 把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 y??x?3?2?1?x2?6x?8
【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。
第二部分 发散思考
【思考1】. 2010，北京中考
已知关于x的一元二次方程2x2?4x?k?1?0有实数根，k为正整数.
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数
y?2x2?4x?k?1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线
y?12x?b?b?k?与此图象有两个公共点时，b的取值范围.
【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.
【思考2】2009，东城，一模
已知：关于x的一元二次方程
x2?2(2m?3)x?4m2?14m?8?0 （1）若m?0,求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．
【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题
给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察. 【思考3】2009，海淀，一模
已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc （c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
(kc)2?b2?ab （2）求代数式akc的值；
（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.
【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K的取值即可。第二问则需要将k用a,b表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.
【思考4】2009，顺义,一模
. 已知：关于x的一元二次方程
x2?(2m?1)x?m2?m?2?0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
x?x1?m?2（2）若方程的两个实数根x1，x2满足
12?m?1，求m的值．
【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出x1，x2,
发现
x1，x2都是关于m的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目
告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.
第三部分 思考题解析 【思考1解析】
解：（1）由题意得，??16?8(k?1)≥0． ∴k≤3． ∵k为正整数，
∴k?1，2，3． （2）当k?1时，方程2x2?4x?k?1?0有一个根为零； 当k?2时，方程2x2?4x?k?1?0无整数根；
当k?3时，方程2x2?4x?k?1?0有两个非零的整数根．
综上所述，k?1和k?2不合题意，舍去；k?3符合题意．
2y?2x?4x?2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式k?3当时，二次函数为35.令2m?1?6,?m?为
y?2x2?4x?6． （3）设二次函数y?2x2?4x?6的图象与x轴交于
A、B两点，则A(?3，0)，B(1，0)． 依题意翻折后的图象如图所示．
y?13当直线
2x?bb?经过A点时，可得2； y?1当直线
2x?bb??1经过B点时，可得
2． (b?3)?1?b?3由图象可知，符合题意的b的取值范围为22．
【思考2解析】 证明：
?=??2(2m?3)?2-4（4m2?14m?8）=8m?4
?m?0, ?8m?4?0.
∴方程有两个不相等的实数根。
x=2(2m?3)?8m?4=(2m?3)?2m?1（2）2
∵方程有两个整数根，必须使2m?1为整数且m为整数．又∵12＜m＜40， ?25?2m?1?81. ∴ 5＜2m?1＜9．
y 8 6 4 2 ?4A ?2 O B 2 4 x ?2 ?4 ?6 ?8 2令2m?1?7,?m?24.令2m?1?8,?m?632.
∴m=24
【思考3解析】
解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2. 依题意 k-1≠0.
2∴
x?k?1.
∵ 方程的根为正整数，k为整数,
∴ k-1=1或k-1=2. ∴ k1= 2, k2=3.
（2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a .
(kc)2?b2?ab(b?a)2?b2?abb2?2ab?a2?b2???ab∴akca(b?a)ab?a2
a2?ab??1. =ab?a2
（3）证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac.
由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.
Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac =(a-kc)2+4ac(k-1).
∵ 方程kx=x+2的根为正实数， ∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数. 由 x>0, 2>0, 得 k-1>0.
∴ 4ac(k-1)>0. ∵ (a-kc)2?0,
∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,
∵ 抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点, ∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc?0. (b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1). 由证法一知 k-1>0, ∴ b2-4ac> b2-4akc?0.
∴ Δ= b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.
【思考4解析】 （1）
经检验：m?4符合题意． ∴
m的值为4．
????(2m?1)??4(m2?m?2)2 -
22 ?4m?4m?1?4m?4m?8
?9?0
?不论m取何值，方程总有两个不相等实数根
（2）由原方程可得 ∴ ∴
x1，2?(2m?1)?9(2m?1)?3?22
x1?m?2，x2?m?1 --
x1?x2?3
又∵
x1?x2?1?m?2m?1
3?1? ∴
m?2m?1
∴ m?4 -