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《电磁学》思考题和计算题 第二章
d?(t?x)d?t111x?????CC1C2?0S?0S?0SC??0Sd?tt不变时C亦不变,与金属片离极板的远近无关
当t →0时， C??0Sd
当t →d时, C→∞
或者：U??d?t0Edl?E(d?t)??S?QQ(d?t)?(d?t)?C??0 ?0?0SU(d?t)8、 如附图所示，一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，两板不是严格平行，
而是有一夹角θ。证明：当θ< 在dx 宽度内，上下两平面仍近似平行, (视为并联) d?xsin?d?xsin? a?0a?aa?C??dx?0ln(1?)0d?xsin??d2dC??0dS??0adx注：ln(1?x)?x?x 29、 半径都是a 的两根平行长直导线相距为d(d>>a),求单位长度的电容。 解： 由高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任意一点P的场强为 E?E??E?? ??11???2??0?rd?r???d?a??d???ln??ln?????0??0?a??a? ·P U??ad?aEdr?单位长度的电容为 d 9 《电磁学》思考题和计算题 第二章 C???U??0??0 ??d?a??d?ln?ln??a??a???10、 证明：同轴柱形电容器两极的半径相差很小（即RB-RA< 平行板电容公式。 证明：同轴柱形电容器的电容公式为 C?2??0L lnRBRA令RB-RA=d ,且d<< RA lnRBR?ddd?lnA?ln(1?)?RARARARAC??02?RALd??0Sd ——相当于平行板电容器的电容公式 11、 证明：同心球形电容器两极的半径相差很小（即RB-RA< 于平行板电容公式。 证明：同心球形电容器的电容公式为 C?4??0RARB RB?RARB RA 当RB-RA< 4??0RARB4??0R2?0SC??? RB?RAdd ——相当于平行板电容器的电容公式 12、 ※一球形电容器内外两壳的半径分别为R1和R4，今在两壳之间放一个内外半径分别为R2和R3的同心导体球壳。 （１） 给内壳以电量Q，求R1和R4两壳的电位差； （２） 求电容。 解：（1）首先根据静电平衡分析电荷的分布， 由对称性及高斯定理可得各区域场强分布为 10 《电磁学》思考题和计算题 第二章 E?0?r?R1?E?Q?R1?r?R2?24??0r Q?R3?r?R4?24??0rE?0?R2?r?R3?E??R4??R2?Q?1111? ???U?U1?U4??E?dl??E?dl?????R1R34??0?RRRR234??14??0 （2）电容为 C?Q? ?U?1111???????RR?RR234??113、 收音机里用的可变电容如附图所示，其中共有n个面积为S的金属片，相邻两片的距 离都是d,奇数片联在一起作为一极，它固定不动（叫做定片），偶数片联在一起作为另一极，它可以绕轴转动（叫做动片）。 （１） 什么动片转动时电容C会改变？转到什么位置时C最大？转到什么位置时C最小？ （２） 证明：略去边缘效应时，C的最大值为 CM??n?1??0S d解：（１）电容大小由定片和动片间正对着的那部分面积决定。 当动片转动时，正对面积变化，电容随之变化。 当动片完全转到定片间时，Ｓ达到最大，Ｃ就达到最大；当动片完全转出定片时，Ｓ＝０，Ｃ达到最小。 （２）当动片完全转入时，相当于n-1 个电容器并联， 总电容为 CM??n?1??0S d1４、收音机里用的可变电容如上题所示，其中共有n个金属片。每片形状如下图所示；相 邻两片间的距离都是d，当动片转到两组片之间夹角为θ时，证明：当θ较大时，略去边缘效应，它的电容为C?解：由扇形面积公式 A??n?1???0?r22?r12??360d(?以度为单位) 12r?，得两组片对着的面积为 2 S?1211r2??r12??r22?r12? 222??r2 r１ θ 11 《电磁学》思考题和计算题 第二章 式中θ是以弧度为单位，若以度为单位， 12122??r22?r12?22 S?r2?r1??r2?r1? ?22360360?????? 整个电容器可视为n-1个电容器并联而成 C??0Sd??n?1???0?r22?r12?? 360dＣ１ Ｃ２ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ４ Ｃ３ Ｅ １５、四个电容器的电容分别为Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３和Ｃ４，联接 如图所示，分别求： （１） ＡＢ间；（２）ＤＥ间；（３）ＡＥ间的电容。 解：（１）ＡＢ间的电容为 CAB?CEB?C1?注:C4短路 （２）ＤＥ间的电容为 CDE?C3?C2C3CC?C2C3?C1C3 ?12C2?C3C2?C3CC?C2C3?C1C3C1C2 ?12C1?C2C1?C2 （３）ＡＥ间有导线接通（短路，UAE=0），相当于无穷大的电容。 CAE?? １６、四个电容器的电容都是Ｃ，分别按图a和图b联接，求Ａ、Ｂ间的电容。哪种接法 总电容较大？ A B Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ A B Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ 解： (a) CABCC???C 2214C?C 33a b (b)CAB?C? b接法总电容较大。 １７、四个电容Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３和Ｃ４都已知，求图a、b 两种联法时，ＡＢ间的电容。 解：两种联法Ａ、Ｂ间的电容分别为 A C1 C2 C3 C4 A C1 C2 C3 C4 CAB?C1C3CC?C?C4??C2C4?C1?C3?CC?214?132?C1?C3??C2?C4?C1?C3C2?C4B a B b CAB??C1?C2??C3?C4? C1?C2?C3?C412