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大学物理（二）练习册 参考解答
第12章 真空中的静电场
一、选择题
1(D)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)， 二、填空题
(1). 电场强度和电势，E?F/q0，Ua?W/q0?(2). ?q2?q4?/?0， q1、q2、q3、q4 ；
(3). 0，? / (2?0) ； (4). ?R / (2?0) ； (5). 0 ； (6).
???0a??E?dl(U0=0).
q4??0q0q4??0?11???r?r?? ；
0???11???r?r??
a??bA?i.
(7). －23103 V； (8).
(9). 0，pE sin? ； (10). ??x?a?2
三、计算题
1. 如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电 q荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度． L
解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为?=q / L，在x处取一电荷元dq = ?dx = qdx / L，它在P点的场强：
x dq O dqqdx dE??22L 4??0?L?d?x?4??0L?L?d?x?总场强为
P d
(L+d－x) Ｐ d dE
x qdxqE? ?24??0L?4??0d?L?d?0(L?d－x) 方向沿x轴，即杆的延长线方向．
+Q
2．一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆心O处的电场强度．
－Q
解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷 dq = ?dl = 2Qd? / ?
它在O处产生场强
Ly R O x
1
dE?dqQ?d?
4??0R22?2?0R2Qsin?d?
dq 按??角变化，将dE分解成二个分量：
2?2?0R2QdEy??dEcos???2cos?d? 22??0R对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
???/2?Ex?2?sin?d???sin?d??＝0
2??0R2??0?/2?dEx?dEsin??y d????x QR O ??
?/2???Q?QEy?2cos?d??cos?d??? ??22?2??0R2????R00?/2?????Q?所以 E?Exi?Eyj?2j 2??0R
O R
3. “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R，设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为?，试求轴线上一点的电场强度．
解:设坐标系如图所示．将半圆柱面划分成许多窄条．dl宽的窄条的电荷线密度为 d??’O' ??Rdl???d?
取?位置处的一条，它在轴线上一点产生的场强为 dE?R dl 如图所示. 它在x、y轴上的二个分量为： dEx=dE sin? , dEy=－dE cos?
对各分量分别积分
??? Ex? sin?d??22?02??0R??0R??? Ey?co?sd??0
2?2?0R?0d???2d?
2??0R2??0R d? y ??dEx ???dEy ??x
dE ???场强 E?Exi?Eyj?
??i
?2?0R?4. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100
?N/C；在离地面1.5 km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C．
? (1) 假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均
体密度；
(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量?0＝8.85310-12 C22N-12m-2)
2
解：(1) 设电荷的平均体密度为?，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面?S平行地面)上下底面处的 E1 场强分别为E1和E2，则通过高斯面的电场强度通量为：
?? ??E2dS＝E2?S-E1?S＝(E2-E1) ?S
高斯面S包围的电荷∑qi＝h?S?
由高斯定理(E2－E1) ?S＝h?S??/? 0 ∴
h ?S S ???0?E2?E1 ?＝4.43310-13 C/m3
1h (2) 设地面面电荷密度为?．由于电荷只分布在地表面，所以电力
线终止于地面，取高斯面如图(2) (1) 由高斯定理
E2 ?1?EdS2=???0?qi
E -E?S=
1?0??S
∴ ? =－? 0 E＝－8.9310-10 C/m3 (2)
5. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为
????????=Ar (r≤R) ， ??=0 (r＞R)， A为一常量．试求球体内外的场强分布．
解：在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为
dq??dV?Ar?4?r2dr
在半径为r的球面内包含的总电荷为
q???dV??4?Ar3dr??Ar4 (r≤R)
V0r以该球面为高斯面，按高斯定理有 E1?4?r2??Ar4/?0 得到
E1?Ar2/?4?0?， (r≤R)
方向沿径向，A>0时向外, A<0时向里．
在球体外作一半径为r的同心高斯球面，按高斯定理有 E2?4?r2??AR4/?0 得到 E2?AR4/4?0r2， (r >R)
方向沿径向，A>0时向外，A<0时向里．
6. 如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板 ， 其电荷体密度分布为?＝kx (0≤x≤b )，式中k为一正的常量．求： P1 P P2 (1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； x (2) 平板内任一点P处的电场强度； O x (3) 场强为零的点在何处？
b 解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E．
作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S，如图所示．
?? 3
?? 按高斯定理?E?dS??q/?0，即
S2SE?1?0?b0?Sdx?kS?0?b0xdx?kSb 2?02 E S S E 得到 E = kb2 / (4?0) (板外两侧) dx b (2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底
面为S．设该处场强为E?，如图所示．按高斯
E S 定理有
?E??E?S?kS?0?x02kSb xdx?2?0 S P x E?
k得到 E??2?0?2b2???x?2?? (0≤x≤b) ??2b2?0， 可得x?b/2 (3) E?=0，必须是x?2
?7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，R电荷面密度为?．如图所示，试求通过小孔中心O并与平面垂直的直O线上各点的场强和电势(选O点的电势为零)．
解：将题中的电荷分布看作为面密度为?的大平面和面密度为－?的圆盘叠加的 结果．选x轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为
?σx? E1?i
2?0x圆盘在该处的场强为
????σx?11??i E?? 2??222?0?xR?x?????σx∴ E?E1?E2?i
2?0R2?x2该点电势为 U? POx
?0x?2?0xdxR?x22??R?R2?x2 2?0??
8. 一半径为R的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为??=Ar (r≤R)，式中A为常量．试求：
(1) 圆柱体内、外各点场强大小分布； (2) 选与圆柱轴线的距离为l (l＞R) 处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布．
解：(1) 取半径为r、高为h的高斯圆柱面(如图所示)．面上各点场强大小为E并垂直于柱面．则穿过该柱面的电场强度通量为：
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