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非线性有限元
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1.2 对于梁的动力方程u,xxxx=?u,tt，确定方程类型。
解：设g=?u,t，f=?u,x。 所以：
?g,t=f,xxxf,t-g,x=0（1-1）
（1-2）
f,s=f,xx,s+f,tt,s （1-3） g,s=g,xx,s+g,tt,s （1-4）
结合公式（1-1）~（1-4）得到：
?0?0Az=??x,s???0
01t,s00 ???f,x??f,xxx?????-10?f0,t? （1-5） ???=?00??g,x??f,s??????x,st,s????g,s???g,t???因为det（A）=0，所以得到：
?x,2s=0 （1-6）
22所以b-ac=0-0?=0，所以梁的动力方程为抛物线型。
2.3 考虑一个逐渐变细的两节点单元，采用如例2.4中更新的Lagrangian格式的
（+A2?，线性位移场。它的当前横截面面积为A=A其中A1和A2分别为节点11-?）1和2处的当前横截面积。对于更新的Lagrangian格式，以Cauchy应力的形
（+?2?，其中?1和?2分别是节点1和2处的式建立内部节点力，假设?=?11-?）Cauchy应力。对于常体力问题建立外部节点力。
解： 速度场为：
??(t)?1?(X,t)=[X2-XX-X1]?1?l0??2(t)?
其中：
N(X)=1[X2-XX-X1] l0（2-1）
用单元坐标的形式，则速度场为：
2
??(t)?X-X1?(?,t)=[1-??]?1?，?=l0??2(t)?
由于位移是速度的时间积分，而?与时间无关，则
（2-2）
u(?,t)=[1-??]ue(t)
由于x=X+u，所以
（2-3）
（2-4）
x(?,t)=[1-??]xe(t),x,?=x2-x1=l
其中，l是单元的当前长度。我们可以用Eulerian坐标的形式表示?：
?=
由链规则得到B矩阵：
x-x11,?x=（2-5） ll
所以变形率为
1B=N,x=N,??,x=[-11]（2-6）
l 1Dx=B?e=(?2-?1)（2-7）
l
x2x2 所以得到内部节点力为：
inteT1?-1?1?-1?f=?B?Adx=????Adx=????Ad?1l1x1x1??0??（2-8）
将公式（2-8）进行积分得到内部节点力：
11t?1fein=A?+A?++A2?22(A?1?31136?
外部节点力为：
??-1?)?2?1? ??1???1-????1-??feext=????bAdx+???txA?（2-9）
???x1??????t
公式（2-9）中，右边第二项只有单元节点处在力边界上时，才做出贡献。求解外部节点的积分方法与求解内部节点的积分方法相同，最后得到的外部节点力为：
x2feext=
?bl?2A1+A2??? 6?A1+2A2?3.1 考虑在图3.4中所示的单元。设运动为
1x=X+Yt,y=Y+Xt
2（a） 在t=1时拉伸单元。计算此刻的变形梯度和Green应变张量，解释在Green应变中
非零项的物理意义。
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（b） 计算t=1时单元的速度和加速度 （c） 计算t=1时单元的变形率和角加速度 （d） 在t=0.5时重复以上步骤
（e） 计算作为时间函数的J行列式，并确定多长时间行列式保持正值。当J行列式改变
符号时拉伸单元，此时你能看到什么运动。 解：
由已知得运动的表达式为：
?1t??x???X??=???1?? （3-1）
?yt1???Y??2?
所以变形梯度为：
??x??XF=???y???X
?x??1t??Y????=1（3-2） ?y??t1??2? ??Y??x??1??Y?=?1?y???2?Y???x??1?Y???=??y??1?4?Y???因此t=1时刻和t=0.5时刻的变形梯度为：
??x??XF1=???y
???X??x??XF0.5=???y
???X
其Green应变张量为：
1?? 1??1?2?? 1????t2??1??1t???11t????1T1??1?=?8?-E=（FF-I）=21???22???t1??t1??11???3t-1??2??????42
因此t=1时刻和t=0.5时刻的Green应变张量为：
31?t-?42?（3-3）
t2?? 2??1?8E1=??1??4?1?32E0.5=??-1??8
1?4?? 1?2??1?-?8?1? 8??此处矩阵第一行第一列项表示沿x方向的应变量，第一行第二列项和第二行第一列项
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