发布时间 : 星期日 文章大学物理简明教程习题解答第8章 2010.9更新完毕开始阅读
第8章 变化的电场和磁场
8-1 变化的磁场中有一电阻R=1.9?的闭合回路，通过回路的磁通量与时间的关系为Φ?(at2?bt?c)?10?3 Wb，式中t以秒计，a=5.0 1/s，b=8.0 1/s，c=2，求：（1）t=2s时回路中的感应电动势；（2）t从2s到3s时通过回路截面的电量。 解 （1）根据法拉第电磁感应定律 ?i?? ??当t=2s时
dΦdt2
题8-1图
2d(at?bt?c)dt??(10t?8)?10?3 V
?i??2.8?10?2 V，负号表示方向为顺时针。
（2）2s到3s间通过回路截面的电量 Q??Idt?
?Rdt???2?3(10t?8)?101.9?32dt
?1.7?10 C
8-2 通过一导线回路的磁通量为Φ(t)?ksin?t，式中常量
?3k?9.5?10 Wb，??377 rad/s。求：在t?3.0?10 s时刻回路中
?3感应电动势的大小。
解 根据法拉第电磁感应定律，感应电动势 ?i??在t?3.0?10?3 s时刻回路中感应电动势的大小?i??
dΦdtdΦdt
?d(ksin?)tdt题8-3图
??kcos?t?1.52 V
8-3 一段导线长20.0cm，在b处弯折成30?角，且ab与bc长度相同。若使导线置于页面内。在均匀磁场中以匀速度v=1.50m/s运动，方向如图。磁场方向垂直页面向内，磁感应强度B=2.50?10T。问ac间的电势差是多少？哪一点电势高？ 解 弯折导线切割磁感应线的有效长度lac?lab?lbccos30??0.187 m 导线ac的动生电动势的大小 ?i?vBlac?7.00?10?3 V
ac间电势差的绝对值与动生电动势大小相等，即Ua?Uc?7.00?10?3 V。a点电势高于c点。
8-4 如图所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一根金属棒在顶角为? 的导线架上滑动，它们组成的回路平面与磁场方向垂直。开始计时时（t=0）金属棒处于导线架的顶角处，正以匀速率v向右滑动。（1）试写出感应电动势随时间变化的表达式；（2）若?=110?，B=352mT和v=5.21m/s，问何时感应电动势等于56.8V。
解 （1）以顶角处为原点，向右为正方向建立x轴如图。 因t=0时x=0，故x=vt，
题8-4图
-2
当金属棒运动到x位置时，导线架内金属棒长度l?2xtan此时金属棒的动生电动势
?2?2vttan2?2，
?i?vBl?2Bvttan?2
（2）当感应电动势为56.8V时，导线滑动时间t??i2Bvtan2?2?2.08 s
8-5 一导体被弯成附图所示的形状，放在均匀磁场B中，ab为半径R的3/4圆弧，oa?R，若此导线以角速度?绕通过o点并与磁场平行的
轴逆时针匀速转动，求此导线oab中的动生电动势。并指出哪一端电势高。
解 作辅助线连接ob，由于闭合回路oabo在转动过程中磁通量不变，所以总电动势为零。
故有 ?oab??ob?5R
?Lob0(v?B)?dl 52B?R2题8-5图
=? ωlBdl?0
方向：b ? a? o ，即o点电势高。
8-6 在与均匀恒定磁场B垂直的平面内，有一半径为R的3/4圆弧形导线abc。导线沿图示方向以速度v向右平动。求导线上的动生电动势。
解 作辅助线ac，闭合回路abca在运动过程中磁通量不变，故?总?0
辅助线ac长度Lac?2R，且与速度v垂直。
?abc??ac?BLacv?2BRv题8-6图
导线上动生电动势的大小
动生电动势的方向由c点经b点指向a点，a点电势高。
8-7 图中一长直导线通有电流I，半径为a的金属球以速度v平行于载流导线运动。试证明：金属球上A和C两点间的电势差为
?0Iv2πln(d?ad?a)。
解 距长直导线r处的磁感应强度B?A和C两点间的电动势
?0I2πr，方向垂直纸面向里。
题8-7图
?i??(v?B)?dl??vBdl
??d?ad?av?0I2πrdr??0Iv2πln(d?ad?a)
金属球上A和C两点间电势差的绝对值与动生电动势大小相等，由此得证。
8-8 如图所示，一长直导线通有交流电I=I0sin?t，I0=10A，?=100?，且在其旁有与它共面的N=1000匝矩形线圈，c=0.050m，a=0.020m，b=0.040m。线圈静止在图示位置，求任意时刻线圈中的感应电动势。
解 在距导线r处取一长为b宽为dr的矩形面积元dS，在这面积元上各点的磁感应强度可视为相同，B??0I2πr。
dΦm?B?dS?通过面积元dS的磁通量
?0I2πrbdr
bdr任意时刻t，通过N匝矩形线圈的总磁通量为 Φ?N?dΦm?N??N?0Ib2πdΦdt?lncc?a?0I2πrc
题8-8图
c?a
lnc?adI?cdt根据法拉第电磁感应定律，感应电动势 ?i??N?0Ib2π
??8.45?10?3cos100πt
8-9 一边长l=2.2m的正方形线框有一半置于匀强磁场中，如图所示。线框中连接有?0=2.0V的电池。若磁感应强度B?B0?kt，其中B0=0.042T， k=0.95T/s。求：（1）线框中的感应电动势；（2）线框中的总电动势。 解 （1）穿过回路平面的磁通量为 Φ?BS?(B0?kt)(由法拉第电磁感应定律
?i??dΦdt?lk22l22)
?2.3 V
题8-9图
根据楞次定律判断，线框中感生电动势方向为顺时针，它与电池电动势方向相同。
（2）线框中的总电动势
???i??0?4.3 V
8-10 匀强磁场与金属框架平面垂直，如图所示。磁感应强度B随时间变化，B?k2t2（常量k>0），金属棒沿宽度L的框架以速度v
无摩擦地向右滑动。设开始计时时（t=0）金属棒处于框架的最左端 8-10图
（x=0），求任一时刻回路中感应电动势的大小和方向。 解 由于回路中磁感应强度B随时间变化，因此回路中的感应电动势不仅有动生电动势，还包含感生电动势。可应用法拉第电磁感应定律计算总电动势。因t=0时x=0，故x=vt。 金属棒运动到x位置时，通过回路的磁通量 Φ?BS?此时感应电动势的大小
?i??dΦdtkt22Lx?3kLvt2kLvt223
?
用楞次定律进行判断，感应电动势的方向为顺时针方向。
8-11 通有电流I的长直导线与一导线框共面，长为L的金属细杆ab在导线框上以速度v滑动，如图所示。试求任一时刻线框中感应电动势的大小和方向。
解 （方法1）根据动生电动势定义求解
因为金属杆ab处于非均匀磁场中，所以必须在细杆上距离载流直导线r处取一线元dr，该处的磁场可以认为是均匀的，其磁感应强度B?方向垂直纸面向里。
在dr上的动生电动势为
d?i?(v?B)?dr??vBdr?0I2πr，
题8-11图（1）
??整个金属杆上的动生电动势为 ?i??0I2πrvdr
??Ld?i??c?l?0I2?rcvdr??0I2πvlncc?L
方向由b指向a，所以线框中电动势方向为逆时针方向。
（方法2）根据法拉第电磁感应定律求解
若在任意时刻t，导线ab离框架底边的距离为y，在框架内取一长为y 宽为dr的面积元dS，该处的磁场可视为均匀，磁感应强度B??0I2πr。
ydrt时刻通过dS的磁通量为 dΦm?B?dS?B?通过整个线框的磁通量 Φ??dΦm?
??0I2πr
?c?L?0Iydr2πrc
题8-11图（2）
?0Iy2πdΦdtlnc?Lc
c?Ldycdt?任一时刻线框中感应电动势的大小 ?i????0I2πln?0I2πvlnc?Lc
用楞次定律确定，电动势沿线框回路逆时针方向绕行。
8-12 一矩形回路被置于非均匀变化的磁场B中，磁场方向垂直指向页面内，大小为B?kt2x2，其中常量k?4 T/(s2?m2)。矩形回路的长度a=3.0m，宽度b=2.0m。试求当t=0.010s时，环绕回路的感应电动势的大小和方向。
解 首先计算任一时刻通过矩形回路的磁通量。由于磁场沿x轴变化，故在回路中取长为b宽为dx的细长面积元dS=bdx，面元中磁场可视为均匀。
通过面元的磁通量 dΦ?BdS?kt2x2bdx 任一时刻通过线框的磁通量
Φ?
题8-12图
?dΦ?dΦdt??a0ktxbdx=
23ktba32213ktba23
线框内任一时刻感应电动势的大小 ?i??根据楞次定律，电动势方向为逆时针方向。
?1.44 V