发布时间 : 星期日 文章2013-2017年湖北省武汉市中考数学试题汇编(含参考答案与解析)更新完毕开始阅读
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求不等式组的解集，正确的理解题意是解题的关键 23．（10分）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E． （1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED?EA=EC?EB； （2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC= ，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC= ，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）只要证明△EDC∽△EBA，可得=，即可证明ED?EA=EC?EB；
（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．想办法求出EB，AG即可求出△ABE的面积，即可解决问题；
（3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH=4，DH=3，作AG⊥DF于点G，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a，只要证明△AFG∽△CEH，可得=【解答】解：（1）如图1中，
，即
=
，求出a即可解决问题；
∵∠ADC=90°，∠EDC+∠ADC=180°， ∴∠EDC=90°， ∵∠ABC=90°，
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∴∠EDC=∠ABC， ∵∠E=∠E，
∴△EDC∽△EBA， ∴=，
∴ED?EA=EC?EB．
（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．
在Rt△CDF中，cos∠ADC= ， ∴ = ，∵CD=5， ∴DF=3，
∴CF= =4， ∵S△CDE=6， ∴ ?ED?CF=6，
∴ED==3，EF=ED+DF=6，
∵∠ABC=120°，∠G=90°，∠G+∠BAG=∠ABC， ∴∠BAG=30°， ∴在Rt△ABG中，BG= AB=6，AG= =6 ， ∵CF⊥AD，AG⊥EB， ∴∠EFC=∠G=90°，∵∠E=∠E， ∴△EFC∽△EGA， ∴ = ， ∴ = ，
∴EG=9 ，
∴BE=EG﹣BG=9 ﹣6，
∴S四边形ABCD=S△ABE﹣S△CDE= （9 ﹣6）×6 ﹣6=75﹣18 ． （3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH=4，DH=3，
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∴tan∠E=
，
作AG⊥DF于点G，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a， ∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a，
∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E=∠F， 易证△AFG∽△CEH， ∴=∴
， =
，
∴a=，
∴AD=5a=．
【点评】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、直角三角形的30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 24．（12分）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上 （1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
（2）根据点A、F的坐标利用待定系数法，可求出直线AF的解析式，联立直线AF和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点G的坐标，进而可得出点H的坐标，利用分解因式法将抛物
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线解析式变形为交点式，由此可得出点E的坐标，再根据点A、E（F、H）的坐标利用待定系数法，可求出直线AE（FH）的解析式，由此可证出FH∥AE；
（3）根据点A、B的坐标利用待定系数法，可求出直线AB的解析式，进而可找出点P、Q的坐标，分点M在线段PQ上以及点M在线段QP的延长线上两种情况考虑，借助相似三角形的性质可得出点M的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中， ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x．
（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m， 将点A（﹣1，1）代入y=kx+m中，即﹣k+m=1， ∴k=m﹣1，
∴直线AF的解析式为y=（m﹣1）x+m． 联立直线AF和抛物线解析式成方程组，
，解得： ， ， ∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．
∵GH⊥x轴，
∴点H的坐标为（2m，0）．
∵抛物线的解析式为y= x2﹣ x= x（x﹣1）， ∴点E的坐标为（1，0）．
设直线AE的解析式为y=k1x+b1， 将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中， ，解得： ，
∴直线AE的解析式为y=﹣x+．
设直线FH的解析式为y=k2x+b2， 将F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中， ，解得： ，
∴直线FH的解析式为y=﹣ x+m．
∴FH∥AE．
（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0， 将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中， ，解得： ，
∴直线AB的解析式为y=x+2．
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）．
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