发布时间 : 星期三 文章19-20版 第2章 2.2 2.2.1 向量加法运算及其几何意义更新完毕开始阅读
2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
学 习 目 标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点) 2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点) 3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)
核 心 素 养 1.教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，提升了学生的直观想象和数学建模的核心素养. 2.对比数的加法，给出了向量的加法运算律，培养学生的数学运算的核心素养.
1．向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a． 2．向量求和的法则
→→已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，→→→→三角形则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC. 法则 平行四边形法则 思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ [提示] 不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．
→→→→已知两个不共线向量a，b，作AB＝a，AD＝b，以AB，AD为→邻边作?ABCD，则对角线上的向量AC＝a＋b.
3．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a．
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
1．下列各式不一定成立的是( ) A．a＋b＝b＋a →→→C．AC＋CB＝AB
B．0＋a＝a D．|a＋b|＝|a|＋|b|
D [A，B，C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．]
→→→
2.CB＋AD＋BA等于( ) →
A．DB →C．CD
→B．CA →D．DC
→→→→→→→C [CB＋AD＋BA＝CB＋BA＋AD＝CD.]
→→
3．如图，在平行四边形ABCD中，DA＋DC＝ ．
→→→→DB [由平行四边形法则可知DA＋DC＝DB.]
4．小船以103 km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为 km/h.
20 [根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为（103）2＋102＝20(km/h)．]
向量加法的三角形法则和平行
四边形法则 [探究问题] 1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？ 提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等． (2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．
2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，→→→→
A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An的运算结果是什么？
→→→→→
提示：将三角形法则进行推广可知A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An. 【例1】 (1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
→→
①AB＋DF＝ ； →→
②AD＋FC＝ ； →→→
③AD＋BC＋FC＝ ． (2)①如图甲所示，求作向量和a＋b； ②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
甲 乙
思路点拨：(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．
(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．
→→→
(1)①AC ②AB ③AC [如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
→→→→→①AB＋DF＝AB＋BC＝AC. →→→→→②AD＋FC＝AD＋DB＝AB.
→→→→→→→③AD＋BC＋FC＝AD＋DF＋FC＝AC.]
→→→
(2)[解] ①首先作向量OA＝a，然后作向量AB＝b，则向量OB＝a＋b.如图所示．
→
②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，→→→→
再作向量AB＝b，则得向量OB＝a＋b，然后作向量BC＝c，则向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
→
法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝→→→→→a，OB＝b，OC＝c，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则OD＝OA＋OB＝→→→
a＋b.再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，则OE＝OD＋OC＝a＋b＋c即为所求．
→→
1．在本例(1)条件下，求CB＋CF.
[解] 因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形， →→→所以CB＋CF＝CD.
→→→
2．在本例(1)图形中求作向量DA＋DF＋CF. [解] 过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，