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反例在高中数学教学中的作用
摘要
所谓反例，就是指用来说明某个命题不成立的例子。在数学中，要证明一个命题，必须严格地论证符合条件的所有可能情况下，结论都成立，缺一不可，而要否定一个命题，只要找出在符合题设条件的某个特殊情况下，结论不成立，也就是只要举出一个反例即可。因此在解题和理解概念中、在高中数学中有“快”、“准”、“狠”的特点。在数学研究与数学学习中有着重要的作用。
关键词：反例；判断；巩固；思维能力；构造反例
一、引言
美国数学家盖尔与奥斯特在《分析中的反例》一书中指出，“数学由两大类——证明和反例组成，而数学发展也朝着两个重要目标——提出证明和构造反例进行”，所以对一个错误认识的反驳不仅是可能的，而且有一个十分有效的标准和方法——反例．在数学推理中，寻求反例与提出证明一样，是一项积极思维活动，二者具有同等重要的作用． 在高中数学教学中，教师分析命题的条件，结论，应用范围等，往往是从正面阐述入手的，可是如果我们能适当选择一些反例，加强辨析，正反对比，将收到更好的效果．适当的反例不仅有利加深学生对数学中诸多概念和定理的理解，而且也有利于优化学生的思维结构，提升学生的理解和解题能力。
二、反例在高中数学教学中的作用
1、 反例可以判断某个命题为假命题
在高中中学数学教学中，要论证一个命题是否为假命题，或检验一道题的正确性，我们往往可以举出一个与原命题矛盾的例子，或与要检验的问题的结论相反的例子，这就是反例．一个命题的反例有多个，我们在举反例时，只举其中一个就可以了． 例1 判断命题“若a?0,b?0，且a?1,b?1，则
logab?logba?2”是否正确？
分析：我们知道， a?1,b?1 ?logab?0，logba?0．
?logab（或logba）的取值情况可分为两类：（1）logab?0；（2）logab?0．
显然，在后一类情况下，恒有logab?logba?0?2，即logab?0时命题不成立．于是容易举出反例：当a?2，b?11时，有log2?log12??1?1??2?2．
222所以通过举出的反例，我们就能轻易的知道所判断命题是否正确． 例2 命题“若a?c,b?c,则ab?c2”是否正确？
分析：我们知道，在0?a?c,0?b?c的前提下，可以推出ab?c2．但现在我们缺少
a?0,b?0这个条件，所以我们的反例可以在a?0,b?0这个范围内构造．
解：所求问题不正确．若我们取a?b??2,c?1，则有a?c,b?c，但ab?4?c2．
一般地说，数学中的反例，它是相对于数学命题而言的，它必须是一个具体的例子，还有它是反驳与纠正错误数学命题的一种方法，所以必须是建立在数学上的已证明的理论与逻辑推理的基础上的，并且具有一定作用的反面例子．所以反例它是论证命题是否正确的一种有效方法．
2、反例可使学生巩固概念、强化概念教学理解
数学概念是用确切、简洁的语言来叙述的．有时一个数学概念有很多种本质属性，学生容易对这些应用较少或较隐含的属性不予重视，或对关键字眼、符号不重视，以致在解题中发生错误．为了正确地理解它此时可通过一些简单明了的反例来加以引导，说明从反面消除容易出现的一些模糊认识，来加深对概念的理解。在教学中利用反例，从心理学的观点来看，这是一种比较.“有比较才有鉴别”，通过比较，学生才能容易把握住所研究对象的本质特征.典型的反例会给学生以深刻的印象，这对学生理解数学概念，掌握数学方法，培养学生的学习兴趣都起很大的作用．例如：
椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。其实概念中，学生很容易粗略的理解“到两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆”，其实还忽视了“平面内”和“常数（大于F1F2）”，学生可能不太理解，于是在讲解时，为了让学生巩固概念，在这就要要举出反例：1、假设不在平面内，在空间上的话，就不是不平面图形，就不是椭圆了。2、假设到两个定点的距离的和的常数恰
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好等于F1F2呢？小于呢？让学生讨论很容易知道常数等于F1F2的点的轨迹是线段，小于
F1F2时，是不存在的。这样的话，有利于学生对概念的掌握和强化。在讲解抛物线定义时，用同样的方法，举出反例可以让学生更容易理解“l不经过点F”从而对抛物线概念的更好把握。
这样在概念中通过应用反例，我们就可以加深学生对定义的理解．
又如在函数周期的概念中，我们知道，如果T是f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期（k为任意整数），那么f(x)的周期就有无穷多个，我们通常所说的周期就是指最小正周期．那么周期函数是否一定有最小正周期呢？
回答是不一定．例如常数函数f(x)=C，它是以任意数为周期，是没有最小正周期的．所以说反例在概念教学中能起到巩固和强化概念的作用．
3、反例有助于学生对定理、公式或法则使用的条件的理解和掌握。
有些学生在学习时，往往对定理的内容掌握不全面，丢三拉四，对一些关键字眼不留意，不在乎，在考试解题格式中不体现，造成不不要的丢分，主要是没有对定理、公式、法则理解到位，理解透彻。这时教师可以通过举反例来强调对定理的条件及结论的全面理解，这就有利于学生准确地理解和掌握数学基础知识，并运用到实际中．如：
线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．学生掌握定理不到位，忽视了条件中的关键字眼“相交”，为了让学生充分掌握次定理，在解答时格式中体现它，所以要举反例，让学生体会，不相交是否一定成立，如图
AB1?B1C1且AB1?BC,但很显然AB1不垂直平面BCC1B1，因为BC与C1B1不相交，这样让
学生更能体会到“相交”的重要性，从而在解答或证明中能体现，体现思维的严密。
例3 已知a3?b3?2 ，求证：a?b?2．
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分析：有学生这样证明：由a3?1?1?3a，可知b3?1?1?3b，两式相加，可得
11a3?b3?4?3(a?b)，再由a3?b3?2，得a?b?(a3?b3?4)??6?2
33其实这样证明是有误的，其原因是不等式应用有误，该证法忽视了基本不等式
a3?b3?c3?3abc适用的前提条件是a,b,c?R?．
正确的证法如下：
证明：欲证原不等式成立，只须证a?2?b，可证a3?(2?b)3
即证a3?8?12b?6b2?b3，只须证a3?b3?8?12b?6b2，故可证6?12b?6b2?0，即
6(1?2b?b2)?0 又因为(b?1)2?0 所以原不等式成立． 故得证．
4、反例让学生在误解中知道错在何处
引入反例，可以增强学生发现问题，纠正错误的意识，提高学生否定错误命题的能力．数学中有些问题，若从正面角度来讲，有时候学生会感到模糊，难理解，甚至会产生错误的判断．若运用反例就可以检验答案是否正确，如果发现有误，也可以通过反例来引导学生寻求错误的原因并纠正错误．如我们都知道的分配律：m(a?b)?ma?mb，而有的学生就会把一些差不多的公式都套用这个分配律，就引起了很多错误的类比：
(a?b)2?a2?b2 ，(a?b)3?a3?b3；sin(??60)?sin??sin60，
cos2(A?B)?cos2A?cos2B等等．
例4 例题：已知方程x2?(k?3)x?k?0有两个大于1的根，求满足下列条件的k的范围
??2??0??(k?3)?4k?0??????b?k?3??1??1??2a2??很多同学做出的解答是显然是错的，已产生了增根，但学生????0???b??1?不能理解为什么错，所以在这举出反例，如图也是满足?2a条件，但解不一定都大于1，所以这个条件是错的，不是题目的充要条件。如图：
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