发布时间 : 星期五 文章2018版高中数学第三章导数及其应用3.1.1平均变化率学案苏教版选修1-1更新完毕开始阅读
3．1.1 平均变化率
学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率(重点).2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义(难点).3.了解平均变化率的正负(易混点)．
知识点一 函数的平均变化率
在吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与气球空气容量(体积)V(单位：L)之间的函数关系是33Vr(V)＝ . 4π
思考1 当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？
思考2 当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
梳理 一般地，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为________________，其中________________是函数值的改变量．
知识点二 平均变化率的意义
思考 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？
梳理 平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的Δy两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝________________为割线AB的斜率．
Δx
类型一 求函数的平均变化率 例1 (1)已知函数f(x)＝2x＋3x－5.
Δy①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；
ΔxΔy②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率.
Δx12
(2)求函数y＝f(x)＝x在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变
3化率最大？
反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； Δyf(3)得平均变化率＝
Δx2
x2－fx1
.
x2－x1
2
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1Δy＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.
Δx(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
类型二 平均变化率的应用
例2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)
存在函数关系h(t)＝－4.9t＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率； (2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
反思与感悟 (1)结合物理知识可知，在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.
(2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．
跟踪训练2 2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图所示，据图回答：
2
(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？ (2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？
(3)从2012年11月至2013年2月间，与从2013年1月至2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？
1．若函数f(x)＝x的图象上存在点P(1,1)及邻近的点Q(1＋Δx,1＋Δy)，则________．
2．圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________． 3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
2
Δy的值为Δx
4．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
5．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)
1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．
2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．
提醒：完成作业 第3章 §3.1 3.1.1