发布时间 : 星期四 文章数列通项、数列前n项和的求法例题+练习更新完毕开始阅读
由此可知，当n?k?1时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何n?N都成立。 七、阶差法
1、递推公式中既有Sn，又有an
*?S1,n?1 分析：把已知关系通过an??转化为数列?an?或Sn的递推关系，然后采用相应的
?Sn?Sn?1,n?2方法求解。
例13 已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn?比数列，求数列{an}的通项公式。 解：∵对任意n?N有Sn?∴当n=1时，S1?a1?当n≥2时，Sn?1??1(an?1)(an?2)，且a2,a4,a9成等61(an?1)(an?2) ⑴ 61(a1?1)(a1?2)，解得a1?1或a1?2 61(an?1?1)(an?1?2) ⑵ 6⑴-⑵整理得：(an?an?1)(an?an?1?3)?0 ∵{an}各项均为正数，∴an?an?1?3
2当a1?1时，an?3n?2，此时a4?a2a9成立
2当a1?2时，an?3n?1，此时a4?a2a9不成立，故a1?2舍去
所以an?3n?2 2、对无穷递推数列
，an?a1?2a2?3a3?L?(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。例14 已知数列{an}满足a1?1
解：因为an?a1?2a2?3a3?L?(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3?L?(n?1)an?1?nan
②
①
用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)
故
an?1?n?1(n?2) an所以an?anan?1an!??L?3?a2?[n(n?1)?L?4?3]a2?a2. an?1an?2a22③
由an?a1?2a2?3a3?L?(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5?L?n?所以，{an}的通项公式为an?八、不动点法
不动点的定义：函数f(x)的定义域为D，若存在f(x)x0?D，使f(x0)?x0成立，则称x0为
n!。 2n!. 2f(x)的不动点或称(x0,f(x0))为函数f(x)的不动点。
分析：由f(x)?x求出不动点x0，在递推公式两边同时减去x0，在变形求解。 类型一：形如an?1?qan?d
例 15 已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为f(x)?2x?1，由f(x)?x得，不动点为-1 ∴an?1?1?2(an?1)，…… 类型二：形如an?1?a?an?b
c?an?d分析：递归函数为f(x)?a?x?b
c?x?d（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得
an?1?pan?pa?pc(a1q?pq)kn?1?(a1p?pq)?k?，其中k?，∴an? n?1an?1?qan?qa?qc(a1?p)k?(a1?q)（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得
112c??k，其中k?。
an?1?pan?pa?d例16 已知数列{an}满足an?1?21an?24，a1?4，求数列{an}的通项公式。
4an?1解：令x?点。因为
21x?2421x?242，得4x?20x?24?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?的两个不动
4x?14x?121an?24?2?a?2?an?1?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613an?2。所以数列?n?????是以
21a?24an?1?3n?an?3??321an?24?3(4an?1)9an?279an?34an?1a?2a1?24?21313??2为首项，以为公比的等比数列，故n?2()n?1，则an?9a1?34?3an?391132()n?1?19 ?3。