发布时间 : 星期二 文章数列通项、数列前n项和的求法例题+练习更新完毕开始阅读
n?1n?1n?1n?1所以an?4?3??5?2，即an?4?3?5?2
解法二： 两边同时除以3n?1得：
an?12an4???，下面解法略 3n?133n322注意：例6 已知数列{an}满足an?1?2an?3n?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。
22解：设an?1?x(n?1)?y(n?1)?z?2(an?xn?yn?z)
比较系数得x?3,y?10,z?18，
22所以an?1?3(n?1)?10(n?1)?18?2(an?3n?10n?18)
22由a1?3?1?10?1?18?1?31?32?0，得an?3n?10n?18?0
an?1?3(n?1)2?10(n?1)?182{a?3n?10n?18}为以则，故数列?2n2an?3n?10n?18a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n2?10n?18?32?2n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。
注意：形如an?2?pan?1?qan 时将an作为f(n)求解
分析：原递推式可化为an?2??an?1?(p??)(an?1??an) 的形式，比较系数可求得?，数列
?an?1??an?为等比数列。
例7 已知数列{an}满足an?2?5an?1?6an,a1??1,a2?2，求数列{an}的通项公式。 解：设an?2??an?1?(5??)(an?1??an)
比较系数得???3或???2，不妨取???2，
则an?2?2an?1?3(an?1?2an)，则?an?1?2an?是首项为4，公比为3的等比数列
?an?1?2an?4?3n?1，所以an?4?3n?1?5?2n?1
四、迭代法
例8 已知数列{an}满足an?1?an3(n?1)2n，a1?5，求数列{an}的通项公式。
3(n?1)2解：因为an?1?an，所以
n3n?2an?an?1n?13(n?1)?2?[an]3n?2?2n?32n?2n?13(n?1)?n?2?an?22(n?2)?(n?1)3(n?2)?2 ?[an]3?33(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)(n?3)?(n?2)?(n?1)3(n?2)(n?1)n?2 ?an?3 ?L ?a13 ?an?1
?2?3LL(n?2)?(n?1)?n?21?2?LL?(n?3)?(n?2)?(n?1)n(n?1)23n?1?n!?21又a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?53n?1n(n?1)?n!?22。
注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
五、变性转化法
1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式
n5例9 已知数列{an}满足an?1?2?3?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。
n5解：因为an?1?2?3?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。
两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2
设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) （同类型四） 比较系数得， x?由lga1?lg3lg3lg2,y?? 4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg3lg3lg2?1???lg7??1???0，得lgan?n???0， 416441644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2??n??}是以lg7?为首项，以5为公比的等比数列，41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1n???(lg7???)5，因此则lgan?41644164所以数列{lgan?lgan?(lg7?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2??)5?n??41644641411614n?1?[lg(7?3?3?2)]5?lg(7?3?3?2)?lg(75n?1?3则an?75?3
n?1?lg(3?3?2)n411614n411614141161n?145
?lg(3?3?2))5n?4n?116?25n?1?145n?4n?116?25n?1?14。
2、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例10 已知数列{an}满足an?1?2an,a1?1，求数列{an}的通项公式。 an?2解：求倒数得
1111111?11?1??,???,????为等差数列，首项?1，公差为，
a12an?12anan?1an2?an?1an??112?(n?1),?an? an2n?13、换元法 适用于含根式的递推关系 例11 已知数列{an}满足an?1?1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1612(bn?1) 24解：令bn?1?24an，则an?代入an?1?1(1?4an?1?24an)得 1612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 24162422即4bn?1?(bn?3)
因为bn?1?24an?0， 则2bn?1?bn?3，即bn?1?可化为bn?1?3?13bn?， 221(bn?3)， 2所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以
1为公比的等比数列，因此21111bn?3?2()n?1?()n?2，则bn?()n?2?3，即1?24an?()n?2?3，得
22222111an?()n?()n?。
3423六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法
加以证明。 例12 已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8，a?，求数列{an}的通项公式。 122(2n?1)(2n?3)9解：由an?1?an?8(n?1)8a?及，得 1(2n?1)2(2n?3)298(1?1)88?224???(2?1?1)2(2?1?3)299?25258(2?1)248?348a3?a2????
(2?2?1)2(2?2?3)22525?49498(3?1)488?480a4?a3????(2?3?1)2(2?3?3)24949?8181a2?a1?(2n?1)2?1由此可猜测an?，下面用数学归纳法证明这个结论。 2(2n?1)(2?1?1)2?18（1）当n?1时，a1??，所以等式成立。
(2?1?1)29(2k?1)2?1（2）假设当n?k时等式成立，即ak?，则当n?k?1时， 2(2k?1)ak?1?ak?8(k?1)(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1) ?(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)2 ?(2k?1)2(2k?3)2(2k?3)2?1 ?(2k?3)2[2(k?1)?1]2?1 ?[2(k?1)?1]2