发布时间 : 星期日 文章数列通项、数列前n项和的求法例题+练习更新完毕开始阅读
7. 利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例15] 求1?11?111?????111??1之和. ????n个1
练习：求5，55，555，…，的前n项和。
以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。
求数列通项公式的八种方法
一、公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法
1、累加法 适用于：an?1?an?f(n)
a2?a1?f(1)若an?1?an?f(n)(n?2)，则
a3?a2?f(2)L Lan?1?an?f(n)
两边分别相加得 an?1?a1??f(n)
k?1n，a1?1，求数列{an}的通项公式。 例1 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?L?(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]?L?(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)?L?2?1]?(n?1)?1 (n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n2。
n例2 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。
nn解法一：由an?1?an?2?3?1得an?1?an?2?3?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?L?(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)?L?(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2?L?32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1n所以an?3?n?1.
nn?1解法二：an?1?3an?2?3?1两边除以3，得
an?1an21， ???n?1nn?13333则
an?1an21，故 ???3n?13n33n?1ananan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?(?)?(?)?(?)?L?(?1)?nnn?2n?2n?3233an?1an?1333333212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)?L?(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2?L?2)?1333333
1(1?3n?1)nan2(n?1)32n11因此n， ???1???331?3322?3n则an?211?n?3n??3n?. 3222、累乘法 适用于： an?1?f(n)an
若
an?1aaa?f(n)，则2?f(1)，3?f(2)，LL，n?1?f(n) ana1a2annan?1两边分别相乘得，?a1??f(k)
a1k?1n例3 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
n解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，则
an?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1aa??L?3?2?a1an?1an?2a2a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]?L?[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3 ?2n?1[n(n?1)?L?3?2]?5(n?1)?(n?2)?L?2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.
三、待定系数法 适用于an?1?qan?f(n)
分析：通过凑配可转化为an?1??1f(n)??2[an??1f(n)]; 解题基本步骤： 1、确定f(n)
2、设等比数列?an??1f(n)?，公比为?2 3、列出关系式an?1??1f(n)??2[an??1f(n)] 4、比较系数求?1，?2
5、解得数列?an??1f(n)?的通项公式 6、解得数列?an?的通项公式
例4 已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。 解法一：Qan?2an?1?1(n?2), ?an?1?2(an?1?1)
又Qa1?1?2,??an?1?是首项为2，公比为2的等比数列
nn ?an?1?2，即an?2?1
解法二：Qan?2an?1?1(n?2), ?an?1?2an?1
两式相减得an?1?an?2(an?an?1)(n?2)，故数列?an?1?an?是首项为2，公比为2的等比
数列，再用累加法的……
n?1例5 已知数列{an}满足an?1?2an?4?3，a1?1，求数列?an?的通项公式。
nn?1解法一：设an?1??13??2(an???3)，比较系数得?1??4,?2?2，
则数列an?4?3?n?1?是首项为a?4?311?1??5，公比为2的等比数列，