发布时间 : 星期二 文章(高二下数学期末20份合集)四川省德阳市高二下学期数学期末试卷合集更新完毕开始阅读
（2）f′（x）=3x+2ax+1，若f′（1）=0， 即3+2a+1=0，解得：a=﹣2， ∴f′（x）=（3x﹣1）（x﹣1）， x∈[﹣1，]时，x﹣1＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞， ∴f（x）在[﹣1，）递增，在（，]递减， ∴f（x）max=f（）=
，f（x）min=f（﹣1）=﹣2；
2
2
（3）由（1）得：f′（x）=3x+2ax+1，对称轴x=﹣， 若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性， 则f′（x）在[﹣1，]有解，而f（0）=1＞0，
∴只需或，
解得：故a＞
＜a＜3或a≥3， ．
19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）的零点个数； （2）是否存在实数a，b，c，使得f（x）同时满足以下条件： ①对?x∈R，f（x﹣2）=f（﹣x）；
②对?x∈R，0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2？如果存在，求出a，b，c的值，如果不存在，请说明理由． 【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．
【分析】（1）将x=﹣1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数； （2）假设存在a，b，c∈R使得条件成立，
由①可知函数f（x）的对称轴是x=﹣1，令最值为0，由此可知a=c； 由②知将x=1代入可求的a、c与b的值，最后验证成立即可． 【解答】解：（1）二次函数f（x）=ax2+bx+c中，f（﹣1）=0， 所以a﹣b+c=0，即b=a+c；
又△=b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2， 当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点； 当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点；
（2）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=﹣1， 所以﹣
=﹣1，即b=2a；
不妨令f（x）的最值为0， 则
即b2=4ac， 所以4a=4ac， 得出a=c；
由②知对?x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）， 不妨令x=1，可得0≤f（1）﹣1≤0， 即f（1）﹣1=0， 所以f（1）=1， 即a+b+c=1； 由
解得a=c=，b=；
2
2
=0，
当a=c=，b=时，f（x）=x2+x+=（x+1），其顶点为（﹣1，0）满足条件①， 又f（x）﹣x=（x+1）2，所以对?x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤（x+1）2，满足条件②． 所以存在a=，b=，c=时，f（x）同时满足条件①、②．
20．已知函数f（x）=（x﹣1）e﹣ax﹣x+1（a∈R）． （1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）若在区间[0，+∞）上关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，构造函数g（x）=ex﹣ax﹣1，（x≥0），通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可．
【解答】解：（1）a=0时，f（x）=（x﹣1）e﹣x+1， f′（x）=xex﹣x=x（ex﹣1）≥0， x≥0时，ex﹣1≥0，x＜0时，ex﹣1＜0， ∴f（x）在R递增；
（2）f（x）=（x﹣1）ex﹣ax3﹣x2+1，（x≥0）， f′（x）=x（ex﹣ax﹣1）， 令g（x）=ex﹣ax﹣1，（x≥0）， g′（x）=ex﹣a，
①a≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增， ∴g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0，
x
2
x
3
2
2
∴f（x）≥f（0）=0，成立，
②当a＞1时，存在x0∈[0，+∞），使g（x0）=0，即f′（x0）=0， 当x∈[0，x0）时，f′（x）＜0， ∴f（x）在[0，x0）上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0，这与f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾， 综上：a≤1． II卷
21．已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是【考点】特征值与特征向量的计算． 【分析】先设矩阵
，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量及矩阵M
，求矩阵A．
对应的变换将点（1，0）变换为（2，3），得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M． 【解答】解：设 由所以
． …
得，
，所以
，由
得，
，…
22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的
交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】利用x+y=ρ，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：
，
2
2
2
令y=0，可得M点的坐标为（2，0）．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．
【解答】解：曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ．又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴曲线C的直角坐标方程为x+y﹣2y=0． 将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：
，
2
2
令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C的圆心坐标为（0，1）， 半径r=1，则∴
， ．
23．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p1；
（2）求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E（X）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出小李第一次参加考核就合格的概率． （2）小李4次考核每次合格的概率依次为：
，由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1，
．
2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）． 【解答】解：（1）由题意得解得
或
，
， ，
∵他参加第一次考核合格的概率超过，即∴小李第一次参加考核就合格的概率p1=．
（2）∵小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列， 且小李第一次参加考核就合格的概率p1=， ∴小李4次考核每次合格的概率依次为：
，
由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1，2，3，4， P（X=1）=，
P（X=2）=（1﹣）×=
，
，
，
P（X=3）=（1﹣）（1﹣）×=
P（X=4）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）×1=∴X的分布列为： X P E（X）=
1 2 =
3 ．
4 24．已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x在x=0处取得极值． （1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性；