1.1.1算法概念

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1.1.1算法的概念

一、教学目标: 1、知识与技能:(1)了解算法的含义,体会算法的思想。(2)能够用自然语言叙述算法。(3)掌握正确的算法应满足的要求。(4)会写出解线性方程(组)的算法。(5)会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。(6)会应用Scilab求解方程组。

2、过程与方法:通过求解二元一次方程组,体会解方程的一般性步骤,从而得到一个解二元一次方程组的步骤,这些步骤就是算法,不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同,同一个问题也可能有多个算法,能模仿求解二元一次方程组的步骤,写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解,明确算法的要求,认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具,进一步提高探索、认识世界的能力。

二、重点与难点:

重点:算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。 难点:把自然语言转化为算法语言。 三、学法与教学用具:

学法:1、写出的算法,必须能解决一类问题(如:判断一个整数n(n>1)是否为质数;求任意一个方程的近似解;……),并且能够重复使用。

2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。

3、要保证算法正确,且计算机能够执行,如:让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的,但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。

教学用具:电脑,计算器,图形计算器 四、教学设想: 1、 创设情境:

算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法,熟悉许多问题的算法。如,做四则运算要先乘除后加减,从里往外脱括弧,竖式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法,求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法,解线性方程组的算法,求两个数的最大公因数的算法等。因此,算法其实是重要的数学对象。 2、 探索研究

算法(algorithm)一词源于算术(algorism),即算术方法,是指一个由已知推求未知的运算过程。后来,人们把它推广到一般,把进行某一工作的方法和步骤称为算法。 广义地说,算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法,洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法,歌谱是一首歌曲的算法。在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法,等等。

3、 例题分析:

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例1 任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。 算法分析:根据质数的定义,很容易设计出下面的步骤:

第一步:判断n是否等于2,若n=2,则n是质数;若n>2,则执行第二步。

第二步:依次从2至(n-1)检验是不是n的因数,即整除n的数,若有这样的数,则n不是质数;若没有这样的数,则n是质数。

这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。

2

例2 用二分法设计一个求议程x–2=0的近似根的算法。

算法分析:回顾二分法解方程的过程,并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005,则不难设计出以下步骤:

2

第一步:令f(x)=x–2。因为f(1)<0,f(2)>0,所以设x1=1,x2=2。

第二步:令m=(x1+x2)/2,判断f(m)是否为0,若则,则m为所长;若否,则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。

第三步:若f(x1)·f(m)>0,则令x1=m;否则,令x2=m。

第四步:判断|x1–x2|<0.005是否成立?若是,则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根;若否,则返回第二步。

小结:算法具有以下特性:(1)有穷性;(2)确定性;(3)顺序性;(4)不惟一性;(5)普遍性 典例剖析: 1、基本概念题

x-2y=-1,① 例3 写出解二元一次方程组 的算法 2x+y=1② 解:第一步,②-①×2得5y=3;③ 第二步,解③得y=3/5;

第三步,将y=3/5代入①,得x=1/5

学生做一做:对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一步完善? 老师评一评:本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组?第二步:解③,得y?1

第一步:②×A1-①×A2,得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0;③

?A1x?B1y?C1?0(A1B2?B1A2?0)的解的算法:

?A2x?B2y?C2?0A2C1?A2C2;

B1222?A2B1A2C1?AAC?B2C1?B1C2第三步:将y?代入①,得x?。

A1B2?A2B1A1B2?A2B1第一步:取A1=1,B1=-2,C1=1,A2=2,B2=1,C2=-1; 第二步:计算x?此时我们得到了二元一次方程组的求解公式,利用此公司可得到倒2的另一个算法:

第三步:输出运算结果。

?B2C1?B1C2AC?A2C2与y?21

A1B2?A2B1A1B2?A2B1可见利用上述算法,更加有利于上机执行与操作。

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基础知识应用题

例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。 解:算法如下。

S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。

S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较,如果它大于此“最大值”,这时你就假定“最大值”是这个整数。

S3 如果序列中还有其他整数,重复S2。

S4 在序列中一直到没有可比的数为止,这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。

学生做一做 写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。

老师评一评 在例2中我们是用自然语言来描述算法的,下面我们用数学语言来描述本题的算法。

S1 max=a

S2 如果b>max, 则max=b. S3 如果C>max, 则max=c. S4 max就是a,b,c中的最大值。 综合应用题

例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。

分析:可以按逐一相加的程序进行,也可以利用公式1+2+…+n=根据加法运算律简化运算过程。

解:算法1: S1:计算1+2得到3;

S2:将第一步中的运算结果3与3相加得到6; S3:将第二步中的运算结果6与4相加得到10; S4:将第三步中的运算结果10与5相加得到15; S5:将第四步中的运算结果15与6相加得到21。 算法2: S1:取n=6; S2:计算

n(n?1)进行,也可以2S3:输出运算结果。 算法3:

S1:将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7; S2:计算3×7; S3:输出运算结果。

n(n?1); 23 / 6

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小结:算法1是最原始的方法,最为繁琐,步骤较多,当加数较大时,比如1+2+3+…+10000,再用这种方法是行不通的;算法2与算法3都是比较简单的算法,但比较而言,算法2最为简单,且易于在计算机上执行操作。

学生做一做 求1×3×5×7×9×11的值,写出其算法。 老师评一评 算法1;第一步,先求1×3,得到结果3; 第二步,将第一步所得结果3再乘以5,得到结果15; 第三步,再将15乘以7,得到结果105; 第四步,再将105乘以9,得到945;

第五步,再将945乘以11,得到10395,即是最后结果。 算法2:用P表示被乘数,i表示乘数。 S1 使P=1。 S2 使i=3 S3 使P=P×i S4 使i=i+2

S5 若i≤11,则返回到S3继续执行;否则算法结束。

小结 由于计算机动是高速计算的自动机器,实现循环的语句。因此,上述算法2不仅是正确的,而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中,S3,S4,S5构成一个完整的循环,这里需要说明的是,每经过一次循环之后,变量P、i的值都发生了变化,并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验,一旦发现i的值大于11时,立即停止循环,同时输出最后一个P的值,对于循环结构的详细情况,我们将在以后的学习中介绍。 4、课堂小结

本节课主要讲了算法的概念,算法就是解决问题的步骤,平时列论我们做什么事都离不开算法,算法的描述可以用自然语言,也可以用数学语言。

例如,某同学要在下午到体育馆参加比赛,比赛下午2时开始,请写出该同学从家里发到比赛地的算法。

若用自然语言来描述可写为 (1)1:00从家出发到公共汽车站 (2)1:10上公共汽车 (3)1:40到达体育馆 (4)1:45做准备活动。 (5)2:00比赛开始。 若用数学语言来描述可写为: S1 1:00从家出发到公共汽车站 S2 1:10上公共汽车

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