发布时间 : 星期六 文章2016初中数学中考指导二轮复习锦囊：专题五 数学思想方法（一）更新完毕开始阅读
②点A落在矩形对角线AC上，如图2， 根据折叠的性质可知DP⊥AC， ∴△DAP∽△ABC， ∴∴AP=
， =
=．
故答案为：或．
点评：本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键．
4. （2015?山东日照 ，第22题14分）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）． （Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
个单位的速度运动到A后停止，
考点：二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义． 专题：压轴题．
分析：（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=tan∠BAC的值；
（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①当∠PAQ=∠CAB时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE=
EN，
，AC=3
，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出
则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，
连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标． 解答：解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得
，
解得：．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．
联立，
解得：或，
∴点B的坐标为（4，1）． 过点B作BH⊥x轴于H，如图1． ∵C（3，0），B（4，1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1， ∴BH=CH=1． ∵∠BHC=90°， ∴∠BCH=45°，BC=
．
，
同理：∠ACO=45°，AC=3
∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴tan∠BAC=
==；
（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似． 过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．
设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x． ∵PQ⊥PA，∠ACB=90°， ∴∠APQ=∠ACB=90°． 若点G在点A的下方，
①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB． ∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB， ∴△PGA∽△BCA， ∴
=
=．
∴AG=3PG=3x． 则P（x，3﹣3x）．
把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得 x2﹣x+3=3﹣3x， 整理得：x2+x=0
解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．
②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA． 同理可得：AG=PG=x，则P（x，3﹣x）， 把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得 x2﹣x+3=3﹣x， 整理得：x2﹣
x=0
，
解得：x1=0（舍去），x2=∴P（
，
）；
若点G在点A的上方，
①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB， 同理可得：点P的坐标为（11，36）． ②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA． 同理可得：点P的坐标为P（
，
）．
，
）、（
，
）；
综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3． 在Rt△ANE中，EN=AE?sin45°=
AE，即AE=+
EN，
∴点M在整个运动中所用的时间为=DE+EN．
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E， 则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°， ∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN． 根据两点之间线段最短可得：
当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小． 此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°， ∴四边形OCD′N是矩形，