发布时间 : 星期一 文章2019届高考数学专题十七圆锥曲线的几何性质精准培优专练理更新完毕开始阅读
培优点十七 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆的几何性质
x2y2例1：如图，椭圆2+2?1?a?b?0?的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、A、F，中
ab心为O，其离心率为3，则S△ABF:S△BFO?（ ） 2
A．2?3:3 【答案】B
【解析】由S△ABF?S△ABO?S△BFO，得S△ABF:S△BFO??S△ABO?S△BFO?:S△BFO??ab?bc?:bc 而
2．抛物线的几何性质
例2：已知抛物线C:y2?2px?p?0?的焦点为F，准线l:x??1，点M在抛物线C上，点M在直线l:x??1上的射影为A，且直线AF的斜率为?3，则△MAF的面积为（ ） A．3 【答案】C 【解析】
B．23 C．43 D．83 c3，所以S△ABF:S△BFO?23?3:3，故选B． ?a2??B．23?3:3
??C．2?3:2
??D．23?3:2
????
设准线l与x轴交于点N，所以FN?2，因为直线AF的斜率为?3，所以?AFN?60?，
所以AF?4，
由抛物线定义知，MA?MF，且?MAF??AFN?60?，所以△MAF是以4为边长的正三角形，其面积为
3．双曲线的几何性质
32?4?43．故选C． 4x2y22例3：已知点P是双曲线??1的右支上一点，M，N分别是圆?x?10??y2?4和
3664?x?10?2?y2?1上的点，则PM?PN的最大值为_________．
【答案】15
x2y2【解析】在双曲线??1中，a?6，b?8，c?10，
3664?F1??10,0?，F2?10,0?，PF1?PF2?2a?12，
QMP?PF1?MF1，PN?PF2?NF2，?PM?PN?PF1?MF1?PF2?NF2?15．
对点增分集训
一、单选题
1．抛物线y2?2px?p?0?上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则p?（ ） 1A．
2B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】抛物线y2?2px?p?0?上的动点Q到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值， 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：
2p?1，?p?2．本题选择C选项． 2y22．设点F1，F2是双曲线x??1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3PF1?4PF2，
3则△PF1F2的面积等于（ ） A．53 B．315
C．45 D．210 【答案】B
【解析】据题意，PF1?4PF2，且PF1?PF2?2，解得PF1?8，PF2?6． 3PF1?PF2?F1F22PF1PF2222又F1F2?4，在△PF1F2中由余弦定理，得cos?F1PF2?从而sin?F1PF2?1?cos2?F1PF2??7． 815115，所以S△PF1F2??6?8??315，故选B． 8283．经过椭圆x2?2y2?2的一个焦点作倾斜角为45?的直线l，交椭圆于M，N两点，设OuuuuruuurOM?ON为坐标原点，则等于（ ）
A．?3 【答案】C
x2【解析】椭圆方程为?y2?1，a?2，b?1，c?1，取一个焦点F?1,0?，则直线方程
21B．?
31C．?
31D．?
2为y?x?1，
uuuuruuur1?41?代入椭圆方程得3x2?4x?0，M?0,?1?，N?,?，所以OM?ON??，故选C．
3?33?4．过抛物线y2?mx?m?0?的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标5为3，PQ?m，则m?（ ）
4A．4 【答案】B
B．6 C．8 D．10
【解析】设PQ的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，线段PQ中点的横坐标为3，则PQ?x1?x2?p?6?m5?m，由此解得m?6．故选B． 44x1?x2?3，2x2y25．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是
ab边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ） x2A．?y2?1
3x2y2C．??1
412
y2B．x??1
32x2y2D．??1
124【答案】B
x2y2【解析】双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAFab是边长为2的
b2c2?a2b?3，解得a?1，b?3，等边三角形（O为原点），可得c?2，?3，即2?3，
aaa2y2双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线的方程为x??1，故选B．
326．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道
Ⅲ绕月飞行．已知椭圆轨道I和Ⅱ的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道I和Ⅱ的长半轴长
分别为a1，a2，半焦距分别为c1，c2，则有（ ）
A．
c1c2 ?a1a2B．a1?c1?a2?c2
ccC．1?2
a1a2D．a1?c1?a2?c2
【答案】C
【解析】设圆形轨道Ⅲ的半径为R，a1?c1?a2?c2?R，c2a2?RR??1?， a2a2a2c1a1?RR??1?，a1a1a1由a1?a2知
c1c2，故选C． ?a1a2x2y2x227．已知双曲线C1:?y?1，双曲线C2:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，
4abM是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM?MF2，O为坐标原点，若S△OMF2?16，且双
曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是（ ） A．32
B．4
C．8
D．16