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第一篇 力学
求解力学问题的基本思路和方法 第一章 质点运动学 第二章 牛顿定律
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 第四章 刚体的转动 第二篇 电磁学
求解电磁学问题的基本思路和方法 第五章 静电场
第六章 静电场中的导体与电介质 第七章 恒定磁场
第八章 电磁感应 电磁场 第三篇 波动过程 光学
求解波动过程和光学问题的基本思路和方法 第九章 振动 第十章 波动 第十一章 光学
第四篇 气体动理论 热力学基础
求解气体动理论和热力学问题的基本思路和方法 第十二章 气体动理论 第十三章 热力学基础 第五篇 近代物理基础
求解近代物理问题的基本思路和方法 第十四章 相对论 第十五章 量子物理 附录 部分数学公式 第一篇 力学
求解力学问题的基本思路和方法
物理学是一门基础学科,它研究物质运动的各种基本规律．由于不同运动形式具有不同的运动规律,从而要用不同的研究方法处理．力学是研究物体机械运动规律的一门学科,而机械运动有各种运动形态,每一种形态和物体受力情况以及初始状态有密切关系．掌握力的各种效应和运动状态改变之间的一系列规律是求解力学问题的重要基础．但仅仅记住一些公式是远远不够的．求解一个具体物理问题首先应明确研究对象的运动性质；选择符合题意的恰当的模型；透彻认清物体受力和运动过程的特点等等．根据模型、条件和结论之间的逻辑关系,运用科学合理的研究方法,进而选择一个正确简便的解题切入点,在这里思路和方法起着非常重要的作用．
1．正确选择物理模型和认识运动过程
力学中常有质点、质点系、刚体等模型．每种模型都有特定的含义,适用范围和物理规律．采用何种模型既要考虑问题本身的限制,又要注意解决问题的需要．例如,用动能定理来处理物体的运动时,可把物体抽象为质点模型．而用功能原理来处理时,就必须把物体与地球组成一
个系统来处理．再如对绕固定轴转动的门或质量和形状不能不计的定滑轮来说,必须把它视为刚体,并用角量和相应规律来进行讨论．在正确选择了物理模型后,还必须对运动过程的性质和特点有充分理解,如物体所受力(矩)是恒定的还是变化的；质点作一般曲线运动,还是作圆周运动等等,以此决定解题时采用的解题方法和数学工具． 2.叠加法
叠加原理是物理学中应用非常广泛的一条重要原理,据此力学中任何复杂运动都可以被看成由几个较为简单运动叠加而成．例如质点作一般平面运动时,通常可以看成是由两个相互垂直的直线运动叠加而成,而对作圆周运动的质点来说,其上的外力可按运动轨迹的切向和法向分解,其中切向力只改变速度的大小,而法向力只改变速度的方向．对刚体平面平行运动来说,可以理解为任一时刻它包含了两个运动的叠加,一是质心的平动,二是绕质心的转动．运动的独立性和叠加性是叠加原理中的两个重要原则,掌握若干基本的简单运动的物理规律,再运用叠加法就可以使我们化“复杂”为“简单”．此外运用叠加法时要注意选择合适的坐标系,选择什么样的坐标系就意味着运动将按相应形式分解．在力学中,对一般平面曲线运动,多采用平面直角坐标系,平面圆周运动多采用自然坐标系,而对刚体绕定轴转动则采用角坐标系等等．
叠加原理在诸如电磁学,振动、波动等其他领域内都有广泛应用,是物理学研究物质运动的一种基本思想和方法,需读者在解题过程中不断体会和领悟． 3.类比法
有些不同性质运动的规律具有某些相似性,理解这种相似性产生的条件和遵从的规律有利于发现和认识物质运动的概括性和统一性．而且还应在学习中善于发现并充分利用这种相似性,以拓宽自己的知识面．例如质点的直线运动和刚体绕定轴转动是两类不同运动,但是运动规律却有许多可类比和相似之处,如 与 与
其实它们之间只是用角量替换了相应的线量而已,这就可由比较熟悉的公式联想到不太熟悉的公式．这种类比不仅运动学有,动力学也有,如 与 与 与
可以看出两类不同运动中各量的对应关系十分明显,使我们可以把对质点运动的分析方法移植到刚体转动问题的分析中去．当然移植时必须注意两种运动的区别,一个是平动一个是转动,状态变化的原因一个是力而另一个是力矩．此外还有许多可以类比的实例,如万有引力与库仑力、静电场与稳恒磁场,电介质的极化与磁介质的磁化等等．只要我们在物理学习中善于归纳类比,就可以沟通不同领域内相似物理问题的研究思想和方法,并由此及彼,触类旁通． 4．微积分在力学解题中的运用
微积分是大学物理学习中应用很多的一种数学运算,在力学中较为突出,也是初学大学物理课程时遇到的一个困难．要用好微积分这个数学工具,首先应在思想上认识到物体在运动过程中,反映其运动特征的物理量是随时空的变化而变化的．一般来说,它们是时空坐标的函数．运用微积分可求得质点的运动方程和运动状态．这是大学物理和中学物理最显著的区别．例如通过对质点速度函数中的时间t 求一阶导数就可得到质点加速度函数．另外对物理量数学表达式进行合理变形就可得出新的物理含义．如由 ,借助积分求和运算可求得在t1 -t2 时间内质点速度的变化；同样由 也可求得质点的运动方程．以质点运动学为例,我们可用微积分把运动学问题归纳如下：
第一类问题：已知运动方程求速度和加速度；
第二类问题：已知质点加速度以及在起始状态时的位矢和速度,可求得质点的运动方程． 在力学中还有很多这样的关系,读者不妨自己归纳整理一下,从而学会自觉运用微积分来处理物理问题,运用时有以下几个问题需要引起大家的关注：
(1) 运用微积分的物理条件．在力学学习中我们会发现, 和 等描述质点运动规律的公式,只是式 和式 在加速度 为恒矢量条件下积分后的结果．
此外,在高中物理中只讨论了一些质点在恒力作用下的力学规律和相关物理问题,而在大学物理中则主要研究在变力和变力矩作用下的力学问题,微积分将成为求解上述问题的主要数学工具．
(2) 如何对矢量函数进行微积分运算．我们知道很多物理量都是矢量,如力学中的r、v、a、p 等物理量,矢量既有大小又有方向,从数学角度看它们都是“二元函数”,在大学物理学习中,通常结合叠加法进行操作,如对一般平面曲线运动可先将矢量在固定直角坐标系中分解,分别对x、y 轴两个固定方向的分量(可视为标量)进行微积分运算,最后再通过叠加法求得矢量的大小和方向；对平面圆周运动,则可按切向和法向分解,对切线方向上描述大小的物理量aｔ、v、s 等进行微积分运算．
(3) 积分运算中的分离变量和变量代换问题．以质点在变力作用下作直线运动为例,如已知变力表达式和初始状态求质点的速率,求解本问题一条路径是：由F ＝m a 求得a的表达式,再由式dv ＝ adt 通过积分运算求得v,其中如果力为时间t 的显函数,则a ＝a(t),此时可两边直接积分,即 ；但如果力是速率v 的显函数,则a ＝ a(v),此时应先作分离变量后再两边积分,即 ；又如力是位置x 的显函数,则a＝a(x),此时可利用 得 ,并取代原式中的dt,再分离变量后两边积分,即 , 用变量代换的方法可求得v(x)表达式,在以上积分中建议采用定积分,下限为与积分元对应的初始条件,上限则为待求量． 5.求解力学问题的几条路径
综合力学中的定律,可归结为三种基本路径,即
(1) 动力学方法：如问题涉及到加速度,此法应首选．运用牛顿定律、转动定律以及运动学规律,可求得几乎所有的基本力学量,求解对象广泛,但由于涉及到较多的过程细节,对变力(矩)问题,还将用到微积分运算,故计算量较大．因而只要问题不涉及加速度,则应首先考虑以下路径．
(2) (角)动量方法：如问题不涉及加速度,但涉及时间,此法可首选．
(3) 能量方法：如问题既不涉及加速度,又不涉及时间,则应首先考虑用动能定理或功能原理处理问题．
当然对复杂问题,几种方法应同时考虑．此外,三个守恒定律(动量守恒、能量守恒、角动量守恒定律)能否成立往往是求解力学问题首先应考虑的问题．总之应学会从不同角度分析与探讨问题．
以上只是原则上给出求解力学问题一些基本思想与方法,其实求解具体力学问题并无固定模式,有时全靠“悟性”．但这种“悟性”产生于对物理基本规律的深入理解与物理学方法掌握之中,要学会在解题过程中不断总结与思考,从而使自己分析问题的能力不断增强．
第一章 质点运动学
1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋Δt)时间内的位移为Δr, 路程为Δs, 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r｜),平均速度为 ,平均速率为 ． (1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr｜= Δs = Δr
(B) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= ds ≠ dr (C) ｜Δr｜≠ Δr ≠ Δs,当Δt→0 时有｜dr｜= dr ≠ ds (D) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= dr = ds (2) 根据上述情况,则必有( )
(A) ｜ ｜= ,｜ ｜= (B) ｜ ｜≠ ,｜ ｜≠ (C) ｜ ｜= ,｜ ｜≠ (D) ｜ ｜≠ ,｜ ｜=
分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr｜＝PP′,而Δr ＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有｜dr｜＝ds,但却不等于dr．故选(B)． (2) 由于｜Δr ｜≠Δs,故 ,即｜ ｜≠ ．
但由于｜dr｜＝ds,故 ,即｜ ｜＝ ．由此可见,应选(C)．
1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 下述判断正确的是( )
(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 (C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确
分析与解 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量； 表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式 计算,在直角坐标系中则可由公式 求解．故选(D)．
1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, aｔ表示切向加速度．对下列表达式,即
(1)d v /dt ＝a；(2)dr/dt ＝v；(3)ds/dt ＝v；(4)d v /dt｜＝aｔ． 下述判断正确的是( )
(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的
分析与解 表示切向加速度aｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用； 在极坐标系中表示径向速率vr(如题1 -2 所述)； 在自然坐标系中表示质点的速率v；而 表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)．
1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( ) (A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变
分析与解 加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, aｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, aｔ为一不为零的恒量,当aｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．
*1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v,则小船作( ) (A) 匀加速运动,