发布时间 : 星期三 文章四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试数学（文）试题更新完毕开始阅读
绵阳市高中2010级第二次诊断性考试
数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
BBCAD ABDDA
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．30 12．? 13．30 14．或8
3821 15．①④
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x)=1+sin2x-1+cos2x=2sin(2x+
∴ 当2k??解得k???8?4)，
?2≤2x+
?4≤2k??5?83?2时，f (x)单调递减，
≤x≤k??，
?862即f (x)的单调递减区间为[k??（Ⅱ）f (∴
AA8，k??5?8](k∈Z)． ????????6分
A4)=2sin(
?3A4+
?4)=?3，即sin(
5?3+
?4)=32，
4????????由AB?AC+
?4=或
2?3，即A=或（舍）． ，得bc=24．①
=c·b·cosA=12，cosA=
22212又cosA=
b?c?a2bc?12，a?27，得b2+c2=52．
∵ b2+c2+2bc=(b+c)2 =100，b>0，c>0， ∴ b+c=10，②
联立①②，且b 由A1D1 BC，知四边形A1BCD1是平行四边形， ∴ A1B∥D1C， A1 B1 ∴ A1B//平面CB1D1. O 同理可证：BD//平面CB1D1， ∴ 平面A1BD∥平面CB1D1.?????????4分 D C （Ⅱ）解：设正方体的边长为a，连接BC1交B1C于点 O， A B 连接A1O， 在正方形ABCD-A1B1C1D1中，DC⊥平面BCC1B1， ∴ DC⊥BC1. 又BC1⊥B1C， ∴ BC1⊥平面A1B1CD． ∴A1B在平面A1B1CD上的射影为A1O． ∴ ∠BA1O是直线A1B与平面A1B1CD所成的角． 易知：A1B?2a，BO?22a， 62a在Rt△A1BO中，A1O=A1B2?BO2?，cos?BA1O?32A1OA1B?32， 即直线A1B与平面A1B1CD所成角的余弦值为． ????????8分 （Ⅲ）解：两面涂色的小正方形有24个；六面均没有涂色的小正方形有8个． ?????????????????????????????12分 18．解：（Ⅰ）∵ a3、a2、a4依次成等差数列， ∴2a2=a3+a4，即2a1q=a1q2+a1q3． 由已知a1=q≠0，于是上式化简q2+q-2=0，解得q=1或q=-2．????4分 （Ⅱ）由题意知：an=a1qn?1=qn， 由an>0知q>0． ∴ bn=lgqn=nlgq． ∴ 数列{bn}是首项为lgq，公差为lgq的等差数列 ∴ Sn?n(lgq?nlgq)2?2lgq(n?n)22．????????????????7分 ∴ 由题知不等式即lgq≤ 2n1?n2n1?nlgq(n?n)2≤n2对任意n∈N*恒成立， 对任意n∈N*恒成立． ，由g(n)?2n1?n?2?21?n设g(n)?，易知g(n)对任意n∈N*单调递增，∴ [g(n)]min?g(1)?1， ∴ lgq≤[g(n)]min，即lgq≤1，解得0 即常数q的取值范围为0 (0，0) (0，1) (0，2) (0，3) (0，4) (1，0) (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (2，0) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (3，0) (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (4，0) (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) ∵ 关于x的一元二次方程x2-2x+b-a+3=0无实根， ∴ ??4?4(b?a?3)?0，即a-b-2<0， [来源:21世纪教育网]21世纪教育网满足a-b-2<0的点(a，b)共有19个， ∴ P1?1925．????????????????6分 b 4 2 3 4 a （Ⅱ）设函数f(x)?x2?2x?b?a?3， ∵ 该方程的二实根x1、x2满足0≤x1≤1≤x2， O ∴ ??f(0)?0，?f(1)?0， 即 ??a?b?3?0，?a?b?2?0． 1由图知：满足 0≤x1≤1≤x2时的概率P2 ?2(x?1)?yx?422?2?2?124?4?1?1?332． ??12分 20．解：（Ⅰ）由题意得，化简得： x2?12， 4????????OA?OB?y23?1，即轨迹E为焦点在x轴上的椭圆． ??????5分 ????2)=OP????????+OP?PB????????+PA?OP????????+PA?PB（Ⅱ）设A(x1，x2)，B(x2，y2)． ∵ ????????????????????????=(OP?PA)?(OP?PB， 由题知OP⊥AB，故OP?PB=0，PA?OP=0． ∴ 假设满足条件的直线m存在， x2????????????????OA?OB????2=OP????????+PA?PB????2=OP????????-AP?PB=0． ①当直线m的斜率不存在时，则m的方程为x=?2， 代入椭圆∴ 243????????????????6OA?OB=x1x2+y1y2=-2-?0，这与OA?OB4?y2?1，得y=?6． =0矛盾，故此时m不存在． ②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx+b， ∴ |OP|=联立 x2b1?k2?2，即b2=2k2+2． 21世纪教育网 4?y23?1与 y=kx+b得，(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0， ，x1x2= 2 ∴ x1+x2= ?8kb3?4k24b?123?4k22， 2 y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=kx1x2+kb(x1+x2)+b= 3b?12k3?4k222， 222????????4b?123b?12k∴ OA?OB=x1x2+y1y2=+=0． 223?4k3?4k∴ 7b2-12k2-12=0， 又∵ b2=2k2+2， ∴ 2k2+2=0，该方程无解，即此时直线m也不存在． 综上所述，不存在直线m满足条件．???????????????13分21．解：（Ⅰ）f?(x)?lnx?1， 由lnx?1?0，即x?1e时f?(x)?0，所以f(x)在区间(，??)上单调递增， e1e1由lnx?1?0，即0?x?时f?(x)?0，所以f(x)在区间(0，)上单调递减， e1∴ 函数f(x)的单调递增区间为(，??)，单调递减区间为(0，)．???5分 ee11（Ⅱ）∵ 函数g(x)=2f (x)-blnx+x在x?[1，+?）上存在零点， ∴ 方程2xlnx?blnx?x?0在x?[1，+?）上有实数解． 易知x=1不是方程的实数解， ∴ 方程2xlnx?blnx?x?0在x?(1，??)上有实数解， 即方程b?2x?设?(x)?2x???(x)?2?xlnx在错误！未找到引用源。上有实数解． xlnx2(x?1)， lnx?1(lnx)?2(lnx)?lnx?1(lnx)22?(2lnx?1)(lnx?1)(lnx)2， ∵ x?1，∴ lnx?0，lnx?1?0， 当2lnx?1?0，即x?e时，??(x)?0； e当2lnx?1?0，即1?x?时，??(x)?0， ∴ ?(x)在(1，e)上单调递减，在(e，??)上单调递增， ∴ [?(x)]min??(e)?4e， ∴ 实数b的取值范围为[4e，??)．???????????????10分 （Ⅲ）∵ 存在x0>0使f?(x0)?∴ lnx0?1?x2lnx2?x1lnx1x2?x1f(x2)?f(x1)x2?x1成立， 成立． 要证明：x0>x1 成立， 只需证明 lnx0?1?lnx1?1 成立， 只需证明 x2lnx2?xlnx1x2?x11?lnx1?1 成立， 只需证明 x2(lnx2?只需证明 ln设 x2x1?tx2x1?1?lnx1?)x2?x2x1 x成立， 成立． ，∵ x1 令 h(t)?lnt?t?1(t?1)， ∵ h?(t)?1t?1t2?t?1t2?0， ∴ h(t)在(1，??)上单调递增， ∴ h(t)?h(1)?0，即 lnt?1?t成立， ∴ 不等式 x0>x1成立．?????????????????????14分