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数值试题
数值计算方法试题一
一、 填空题（每空1分，共17分）
1、如果用二分法求方程x3?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
22、迭代格式xk?1?xk??(xk?2)局部收敛的充分条件是?取值在（ ）。
?x30?x?1?S(x)??132(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c1?x?3?2?3、已知是三次样条函数，
则
a=( )，b=（ ），c=（ ）。
l0(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函4、数，则
?lk?0nk?0nk(x)?4k( )，
?xlk?0nkj(xk)?( )，当n?2时
?(x2?xk?3)lk(x)?( )。
7425、设f(x)?6x?2x?3x?1和节点xk?k/2,k?0,1,2,?,则f[x0,x1,?,xn]? 7?和f0? 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
??k(x)?k?0是区间[0,1]上权函数?(x)?x的最高项系数为1的正交多项7、
?式族，其中?0(x)?1，则?0x?4(x)dx? 。
?x1?ax2?b1?8、给定方程组??ax1?x2?b2，a为实数，当a满足 ，且0???2时，SOR迭代法收敛。
19、解初值问题
?y??f(x,y)??y(x0)?y0的改进欧拉法
[0]?yn?1?yn?hf(xn,yn)?h?[0]y?y?[f(x,y)?f(x,yn?1nnnn?1n?1)]?2?是
阶方法。
?10a??A??01a????aa1??，当a?（ ）时，必有分解式A?LLT，10、设
1
数值试题
其中L为下三角阵，当其对角线元素lii(i?1,2,3)满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 二、选择题（每题2分）
(k?1)?Bx(k)?g收敛的充要条件是1、解方程组Ax?b的简单迭代格式x（ ）。
（1）?(A)?1, (2) ?(B)?1, (3) ?(A)?1, (4) ?(B)?1
?2、在牛顿-柯特斯求积公式：
baf(x)dx?(b?a)?Ci(n)f(xi)i?0n(n)Ci中，当系数
是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）
时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1）n?8， （2）n?7， （3）n?10， （4）n?6， 3、有下列数表 x f(x) 0 -2 0.5 -1.75 1 -1 1.5 0.25 2 2 2.5 4.25 所确定的插值多项式的次数是（ ）。 （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 4、若用二阶中点公式
y???2y,y(0)?1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（ ）。
(1)0?h?2, (2)0?h?2, (3)0?h?2, (4)0?h?2
三、1、（8分）用最小二乘法求形如y?a?bx的经验公式拟合以下数据：
xi yi 2yn?1?yn?hf(xn?hh,yn?f(xn,yn))24求解初值问题
19 19.0 25 32.3 30 49.0 38 73.3 12、（15分）用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算?0时，
(1) (1) 试用余项估计其误差。
（2）用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程x3?x?1?0在x?1.5附近有根，把方程写成三种
3不同的等价形式（1）x?3x?1对应迭代格式xn?1?xn?1；(2)
e?xdxx?1?1x2
数值试题
对应迭代格式
xn?1?1?133xn；x?xx?x?1（3）对应迭代格式n?1n?1。判
断迭代格式在x0?1.5的收敛性，选一种收敛格式计算x?1.5附近的根，
精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组AX?f，其中
?43??24?
??30?A??34?1f?????
????14??，??24??
（1） （1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2） （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。
?dy???y?1?dx?y(0)?1用改进的欧五、1、（15分）取步长h?0.1，求解初值问题?拉法求y(0.1)的值；用经典的四阶龙格—库塔法求y(0.1)的值。
2、（8分）求一次数不高于4次的多项式p(x)使它满足
p(x0)?f(x0),p(x1)?f(x1),p?(x0)?f?(x0),p?(x1)?f?(x1),p(x2)?f(x2)
六、（下列2题任选一题，4分） 1、 1、 数值积分公式形如
（1） （1） 试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；（2）设f(x)?C[0,1]，推导余项公式
误差。 2、 用二步法
4?xf(x)dx?S(x)?Af(0)?Bf(1)?Cf?(0)?Df?(1)
01R(x)??xf(x)dx?S(x)01，并估计
2、
yn?1??0yn??1yn?1?h[?f(xn,yn)?(1??)f(xn?1,yn?1)]
?y??f(x,y)?求解常微分方程的初值问题?y(x0)?y0时，如何选择参数?0,?1,?使方
法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。
数值计算方法试题二
一、判断题：（共16分，每小题２分）
１、若A是n?n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵
U，使A?LU唯一成立。 （ ）
２、当n?8时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
3
数值试题
（ ）
i?13、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代
数精确度的次数为2n?1。 （ ）
?af(x)dx??Aif(xi)bn?210???A??111??012???的２－范数A2＝９。４、矩阵（ ） ?2aa0???A??0a0??00a???，5、设则对任意实数a?0，方程组Ax?b都是病态的。
（用??） （ ） 6、设A?Rn?n，Q?R（ ）
n?nT，且有QQ?I（单位阵），则有A2?QA2。
7、区间?a,b?上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。
（ ）
8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：
?223??100??223???????A??477???210??0b1???245???1a1??006???????，则a,b的值分别为a?2，b?2。
（ ） 二、填空题：（共20分，每小题2分）
8421、设f(x)?9x?3x?21x?10，则均差
018019 f[2,2,?,2]?__________，f[3,3,?,3]?__________。
2、设函数f(x)于区间?a,b?上有足够阶连续导数，p??a,b?为f(x)的
f(xk)xk?1?xk?m'f(xk)的收敛阶至少一个m重零点，Newton迭代公式
是 __________阶。
３、区间?a,b?上的三次样条插值函数S(x)在?a,b?上具有直到
__________阶的连续导数。
?7?2???A???T?31??，则 4、向量X?(1,?2),矩阵
AX1?__________，cond(A)??__________。 5、为使两点的数值求积公式：??14
1f(x)dx?f(x0)?f(x1)具有最高的代