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数学与创新思维
杨凤 2012212575 数学与统计学院
全国科技大会指出：
“创新是一个民族进步的灵魂，是国家 兴旺发达的不竭动力。? 一个没有创新 能力的 民族难于屹立于世界民族之林。” “建立创新型国家。”
教育部的一个报告指出： “实施素质教育重点是改变 教育观念，??尤其是要以培养 学生的创新意识和创造精神为 主。”
恩格斯指出：一个民族要想站在科学的最高峰，就一 刻也不能没有理论思维。?
创造性人才的创造活动是在相应的创造 性思维的支配下，所进行的一种积极的能 动的活动。创造性思维是一切创造活动的 核心和灵魂。
H· 格拉斯曼说：“数学除了锻炼 G· 敏锐的理解力，发现真理外，它还 有另一个训练全面考查科学系统的 头脑的开发功能。” 赫巴特说：“数学一般通过直接激 发创造精神和活跃思维的方式来提 供最佳服务。”
?因此我认为： 数学教学不但应该传授 数学知识，还应该培养 学生的创新思维。数学离不开创新。
数学着重强调五个问题分别是：
一、归纳思维 二、类比思维 三、发散思维 四、逆（反）向思维 五、（数学）猜想 其中三四五都是与创新思维紧密相连的。
发散思维
所谓具有发散特性的思维是指信息处理 的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是 一种开放性的立体思维，即围绕某一问题， 沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息 和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决 问题的多种方案。因此，也把发散思维称为 求异思维。它是一种重要的创造性思维。 用?一题多解?，?一题多变?等方式， 发散式地思考问题。
数学王子—高斯
高斯被誉为： ?能从九霄云外的高 度按某种观点掌握星 空和深奥数学的天才? 和?数学王子?。
特别是高斯非常重视培养自己的发散 思维，并且善于运用发散思维。他非常 重视?一题多解?、?一题多变?。例 如：他对‘代数基本定理’，先 后给出 了4种不同的证明；他对数论中的‘二次 互反律’，先后给出了8种不同的证明 （高斯称‘二次互反律’是数论中的一 块宝石，数论的酵母，是黄金定理）。 欧拉 勒让德
第一个证明是用归纳法； 第二个证明是用二次型理论； 第三个 和第五个证明是用高斯引理； 第四个证明是用高斯和； 第六个和第七个证明是用分圆理论； 第八个证明是用高次幂剩余理论。 他的每一种证明思路都导致数论的新方向。其 后19世纪多位数论大家如狄里克雷、雅可比、 艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人都给 出了新的证明并发展了该理论。
有人曾问高斯：?你为什么能对数学作 出那样多的发现？?高斯答道：?假如别 人和我一样深刻和持久地思考数学真理， 他也会作出同样的发现。? 高斯还说：?绝对不能以为获得一个证 明以后，研究便告结束，或把另外的证明 当作多余的奢侈品。? ?有时候一开始你没有得到最简和最美 妙的证明，但恰恰在寻求这样的证明中才 能深入到真理的奇妙联想中去。这正是吸 引我去继续研究的主动力，并且最能使我 们有所发现。?高斯这些言行，很值得我 们学习和深思。
因此，我们在高等数学教学中，应利 用一题多解、一题多变来培养训练发散思 维，下边我们举几个例子
一题多解：计算 解法１： ? ? I x 3 ? x 3
1 x2 dx 2
1 x dx ? ? d (x2 ) 2 2 1 x2 1 x
1 x2 1 1 ? ? d (1 x 2 ) 2 1 x2
1 1 d (1 x ) 2 2 ? ? 1 x d (1 x ) ? 2 2 1 x2 2
第 一 类 换 元 积 分 法
1 ? (1 3
3 x2 ) 2
(1
1 x2 ) 2
1 2 2 ? 1 x ( x 2) C 3
一题多解：计算 ? 解法２： x 3 2
1 x dx
I?? ?? x 3 2
1 x
dx ? ?
x x x 3
1 x 2 dx 2
x ( x 2 1) x 1 x 2
第 一 类 换 元 积 分 法 x 1 x2 dx
dx ? ? x 1 x dx ?
1 ? 1 x 2 ( x 2 2) C 3
一题多解：计算 解法３： I? ? x 3
1 x2 dx
第 一 类 换 元 积 分 法 ?
x3 1 x2 dx
? ? x 2d 1 x 2 ? ? ( x 2 1 1)d 1 x 2
? ? ( x 1)d 1 x ? d 1 x 2 2 2
1 2 2 ? 1 x ( x 2) C 3
逆向思维 一则小 故事: 一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给雨 伞店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。 于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她 担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她 怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。 后来有一位聪明的人劝她：‘老太太，你 真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆； 大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都 有好消息啊。’这么一说，老太太生活的色 彩竟焕然一新。
逆向思维（又称反向思维）是相对于 习惯性思维的另一种思维形式。它的基 本特点是从已有的思路的反方向去思考 问题。它对解放思想、开阔思路、解决 某些难题、开创新的方向，往往能起到 积极的作用。