发布时间 : 星期二 文章1.4.2 §2 正弦函数、余弦函数的性质更新完毕开始阅读
高一数学必修4 第一章三角函数导学案编制：审核：小组：
课时作业
ππ
1.设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ＋)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为π，且是偶函数，则（）
42
ππ3π
A.f(x)在(0，)单调递减B.f(x)在(，)单调递减
244ππ3π
C.f(x)在(0，)单调递增D.f(x)在(，)单调递增
244
π?2.已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f??8?＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是（）
π3ππ9π3πππ5π
－，?B.?，?C.?－，?D.?，? A.??88??88??88??88?3.下列关系式中正确的是（）
A.sin11°＜cos10°＜sin168°B.sin168°＜sin11°＜cos10° C.sin11°＜sin168°＜cos10°D.sin168°＜cos10°＜sin11°
4.已知奇函数f(x)在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（） A.f(cosα)＞f(cosβ) B.f(sinα)＞f(sinβ) C.f(sinα)＜f(cosβ) D.f(sinα)＞f(cosβ) 5.设?,?都是锐角，且????2?，则cos(???)的取值范围是（） 311113A.(?,) B.[，1] C.（，1） D.(?,1]
222222π
0，?上递减，且有最小值1，则ω的值可以是（） 6.若函数y＝2cosωx在区间?3??
11
A.2 B.C.3D. 23
π3π?7.函数y＝tanx＋sinx＋|tanx－sinx|在区间??2，2?内的图象大致是（）
8.已知偶函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间是________．
π
9.函数y＝cos(2x－)在x＝________时，取到最大值________．
32π
0<φ
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
π3
(2)若f(x)的图象过点?，?，求f(x)的单调递增区间．
?62?
5
高一数学必修4 第一章三角函数导学案编制：审核：小组：
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时函数的奇偶性、单调性与最值
教学目标
知识与技能
(1)结合函数图象理解正弦函数及余弦函数的奇偶性、单调性、最值；
(2)掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 过程与方法：通过性质的概括和性质的应用加强学生数形结合的思想方法． 情感、态度、价值观：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志． 教学重难点
重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性．
难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用． 教学分析
正弦、余弦函数性质的难点，在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易.单调性只要求由图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可. 教学方法：启发、诱导发现教学 教具：多媒体、实物投影仪 复习
1.正、余弦函数的最小正周期是多少？
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期是多少？
导入新课
周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们本节课作进一步探究.
探究一、正、余弦函数的奇偶性
问题：观察正弦曲线和余弦曲线，函数图象有怎样的对称性？分别反映出正、余弦函数具有什么性质？
【提示】观察函数图象的对称性，我们发现，正弦函数图象关于原点对称，余弦函数图象关于y轴对称． 这说明正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
从理论上加以验证，根据诱导公式三：sin(-α)＝-sinα，cos(-α)＝cosα，同样能够判断正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
1.正、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． 探究二、正、余弦函数的单调性与最值
问题：观察正弦函数图象的变化趋势，能否求出正弦函数的单调区间以及正弦函数的最大值和最小值？
我们知道，正弦函数、余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期都是2π，因此，我们先研究正弦函数、余弦函数在一个周期内的单调性，再根据它的周期性，将单调性扩展到整个定义域R上．那么，我们如何选择研究区间呢？
π3π
【提示】为了方便研究，我们研究正弦函数y＝sinx，x∈[－，]上的单调性及最大值和最小值．
22
6
高一数学必修4 第一章三角函数导学案编制：审核：小组：
πππ
观察曲线，可以看到:y＝sin x在[－，]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由-1增大到1；在[，2223π
]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到-1. 2
π3ππππ3π
函数y＝sinx，x∈[－，]在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减，最大值1，最小值-1.
222222由正弦函数的周期性，将正弦函数的单调区间推广：
ππ
－＋2kπ，＋2kπ?(k∈Z)上都是增函数，在每一个闭区间正弦函数y＝sinx，x∈R在每一个闭区间?2?2?
?π＋2kπ，3π＋2kπ?(k∈Z)上都是减函数．
2?2?
思考：类似地，能否求出余弦函数的单调区间以及余弦函数的最大值和最小值？
【提示】类似地，研究余弦函数的一个周期，研究函数y＝cosx，x∈[－π，π]的单调性
观察曲线，可以看到:y＝cos x在[－π，0]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由-1增大到1；在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到-1.
函数y＝cosx，x∈[－π，π]在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，最大值1，最小值-1. 由余弦函数的周期性，将余弦函数的单调区间推广：
余弦函数y＝cosx，x∈R在每一个闭区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上都是增函数，在每一个闭区间[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上都是减函数． 2.正、余弦函数的单调性
ππ
－＋2kπ，＋2kπ?(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区正弦函数在每一个闭区间?2?2?
π3π
＋2kπ，＋2kπ?(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 间?2?2?
余弦函数在每一个闭区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
π
思考1：正弦函数在每一个开区间（2kπ，＋2kπ）（k∈Z）上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是
2
增函数？
π
【提示】“第一象限”是由所有的区间(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并
2集内，显然函数值不是随着x的增大而增大的.所以，正弦函数、余弦函数在它们的定义域上都不是单调的，也不能说它们在某象限单调，比如“正弦函数在第一象限为增函数”的说法是错误的。
思考2：当自变量x分别取何值时，正弦函数y＝sinx、余弦函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？
π
【提示】正弦函数：当且仅当x＝＋2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；
2π
当且仅当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1.
2
余弦函数：当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1；当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1. 探究三、正、余弦函数的对称性
问题：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
π
【提示】由正弦曲线可知：正弦曲线关于点（kπ，0）和直线x＝＋kπ对称.
2问题：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
π
【提示】由余弦曲线可知：余弦曲线关于点（，0）和直线x＝kπ对称.
23.正、余弦函数的对称性
正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x既是中心对称图形，又是轴对称图形．
π
y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)．
2
π
y＝cos x的对称中心为(kπ＋，0)(k∈Z)，对称轴为x＝kπ(k∈Z)．
2
7
高一数学必修4 第一章三角函数导学案编制：审核：小组：
正弦、余弦函数的性质
函数 y＝sinx y＝cosx 图象 R [－1，1] 最小正周期为2π R [－1，1] 最小正周期为2π 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 最值 对称轴 对称中心 奇函数 偶函数 ππ在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上是增函数；22在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；π3π在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上减函数 在[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)上是减函数 22πx＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 2x＝2kπ时，ymax＝1； πx＝2kπ＋π时，ymin＝－1 x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1 2πx＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 2π(kπ，0) (k∈Z) (kπ＋，0)(k∈Z) 2例题讲练
类型一、三角函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性
215π
（1）f(x)＝sin(x＋)；（2）f(x)＝sin(cosx)；（3）f(x)＝ln(sinx＋1＋sin2x).
32
215π23π2
解析：（1）f(x)＝sin(x＋)＝sin(x＋)＝－cosx，∴f(x)为偶函数．
32323
（2）由题意，函数定义域关于原点对称，f(﹣x)＝sin[cos(﹣x)]＝sin(cosx)＝f(x)，函数为偶函数. （3）∵sin x＋1＋sin2x≥sin x＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sinx＝0且sinx＝－1矛盾，∴对x∈R都有sinx＋1＋sin2x>0.
－
∵f(－x)＝ln(－sinx＋1＋sin2x)＝ln(1＋sin2x－sinx)＝ln(1＋sin2x＋sinx)1
＝－ln(sinx＋1＋sin2x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
例2.若函数y＝2sin(ωx＋φ)是偶函数，则φ可能等于（）
πππA. B.C. D.π 632
ππ
解析：∵y＝2sin(ωx＋)＝2cosωx为偶函数，∴φ可取. 22
答案：C
类型二、函数周期性与奇偶性的综合运用
π
0，?时，f(x)＝ 例3.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈??2?5π?sinx，求f??3?的值．
解 ∵f(x)的最小正周期是π，
5π??5ππ
－2π?＝f?－?， ∴f?＝f?3??3??3?∵f(x)是R上的偶函数，
πππ3－?＝f??＝sin＝. ∴f??3??3?32
8