发布时间 : 星期三 文章2015年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科)更新完毕开始阅读
本题考查空间两点间距离公式的应用，空间向量的数量积的应用，注意向量的夹角是解题的关键．
10.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=4x上相异两点，且满足x1+x2=4，若AB的垂直平分线交x轴于点M，则AMB的面积的最大值是（ ） A.
B.8 C.
D.6
【答案】 B
【解析】
解：当AB垂直于x轴时，显然不符合题意．
设AB中点为P（2，t），于是kAB= = =
= ，
∴可设直线AB的方程为y-t= （x-2），
联立方程 ，消去x得：y2-2ty+2t2-8=0，
∴y1+y2=2t，y1y2=2t2-8，
∴|AB|= = ，
由kAB?kMP=-1，可得kMP=- ，∴MP：y-t=- （x-2）， 令y=0，可得M（4，0），
∴|MP|= = ， 于是S△MAB= |AB|?|MP|= （4+t2） ， 令m= ，则S= （12-m2）?m=- m3+6m， ∵S′=- m2+6=- （m+2）（m-2），
∴S′＞0?0＜m＜2，S′＜0?m＞2， ∴当m=2时，（S△MAB）max=8，此时t2=4． 故选：B．
通过设AB中点为P（2，t），可得直线AB的方程并与抛物线联立，利用韦达定理、两点间距离公式、面积公式及换元法计算即可．
本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及到韦达定理、两点间距离公式、三角形面积公式、函数的单调性及换元法等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
二、填空题(本大题共5小题，共25.0分) 11.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 ______ ． 【答案】 4
【解析】
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解：双曲线
2x2-y2=8化为标准方程为
∴a2=4∴a=2∴2a=4即双曲线2x2-y2=8的实轴长是4故答案为：4双曲线2x2-y2=8化为标准方程为
，即可求得实轴长．
本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题．
z=2x+y的最小值为 ______ ． 12.设变量x、y满足 则目标函数
【答案】 2
【解析】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=2x+y得y=-2x+z， 平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最小， 此时z最小．
，解得 ，即由 A（1，0），
代入目标函数z=2x+y得z=1×2+0=2．
即目标函数z=2x+y的最小值为2． 故答案为：2作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最小值． 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
13.如图是绵阳市某小区100户居民2014年月平均用水量（单位：t）的频率分布直方图的一部分，则该小区2014年的月平均用水量的中位数的估计值为 ______ ． 【答案】 2.02
【解析】
解：根据频率分布直方图，得；
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.44×0.5=0.49＜0.5， 0.49+0.5×0.5=0.74＞0.5， 设中位数为a，则
0.49+（a-2）×0.5=0.5， 解得a=2.02，
∴估计中位数是2.02． 故答案为：2.02．
根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值． 本题考查了利用频率分布直方图求中位数的应用问题，解题时应根据中位数的左右两边频率相等进行解答，是基础题目．
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14.已知点A（1-m，0），B（1+m，0），若圆C：x2+y2-8x-8y+31=0上存在一点P，使 ? 得 =0，则m的最大值为 ______ ． 【答案】 6
【解析】
解：圆C的方程变成：（x-4）2+（y-4）2=1； ∴设P（4+cosθ，4+sinθ），如图：
线段AB的中点坐标为（1，
0），|AB|=2|m|；
∴P点到线段AB中点的距离为|m|； ∴（3+cosθ）2+（4+sinθ）2=m2； ∴26+6cosθ+8sinθ=m2；
∴26+10sin（θ+φ）=m2，其中tanφ= ； ∴m2最大为36； ∴m的最大值为6．
故答案为：6．
将圆的方程变成标准方程：（x-4）2+（y-4）2=1，从而可设P（4+cosθ，4+sinθ），根据已知条件知道△PAB为直角三角形，并且可求得AB中点为（1，0），从而得到P到该点的距离为|m|，根据两点间距离公式从而得到（3+cosθ）2+（4+sinθ）2=m2，将该式可变成26+10sin（θ+φ）=m2，这样即可求得m的最大值．
考查圆的标准方程，直角三角形的直角顶点到斜边的距离等于斜边的一半，中点坐标公式，两非零向量垂直的充要条件，以及利用三角函数设圆上点的坐标，两点间距离公式．
15.用|S|表示集合S的元素个数，由n个集合为元素组成的集合称为“n个元素”，如果集合A、B、C满足、|A∩B|=|B∩C|=|A∩C|=1，且A∩B∩C=?，则称{A，B，C}为最小相交“三元集”．给出下列命题：
①集合{1，2}的非空子集能组成6个“二元集”；
②若集合M的子集构成的“三元集”存在最小相交“三元集”，则|M|≥3；
③集合{1，2，3，4}的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有16个；
n
④若集合|M|=n，则它的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有2个． 其中正确的命题有 ______ ．（请填上你认为所有正确的命题序号） 【答案】 ②③ 【解析】
解：对于①，集合{1，2}的非空子集个数为3，且为{1}，{2}，{1，2}，能组成3个“二
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元集”，则①错误；
对于②，若集合M的子集构成的“三元集”存在最小相交“三元集”，且|M|＜3，则|M|=1显然不成立，
当|M|=2，共有3个非空子集，A，B，C不满足|A∩B|=|B∩C|=|A∩C|=1，但满足A∩B∩C=?，
则|M|=2不成立，则②正确；
对于③，∵|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，∴设A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}， ∵A∩B∩C=?，且x，y，z∈{1，2，3，4}，∴若集合{1，2，3，4}中的子集含有4个元素时，
∴从1，2，3，4四个元素选3个有 =4种方法，剩余的一个元素可以分别放入集合A，B，C，有3种，
∴此时共有3×4=12种．
若集合{1，2，3，4}中的子集含有3个元素时，满足集合A，B，C中都只有一个元素．
∴从1，2，3，4四个元素选3个有 =4种方法， 综上共有12+4=16个．则③正确； 对于④，若集合|M|=n，若n=5，∵|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，∴设A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，
∵A∩B∩C=?，且x，y，z∈{1，2，3，4，5}，
∴若集合{1，2，3，4，5}中的子集含有5个元素时，
∴从1，2，3，4，5五个元素选4个有 =5种方法，剩余的一个元素可以分别放入集合A，B，C，有3种， ∴此时共有3×5=15种．
若集合{1，2，3，4，5}中的子集含有4个元素时，从1，2，3，4，5五个元素选3个
有 =10种方法，剩余的一个元素可以分别放入集合A，B，C，有3种，∴此时共有3×10=30种．
若集合{1，2，3，4，5}中的子集含有3个元素时，满足集合A，B，C中都只有一个元素．
∴从1，2，3，4，5五个元素选3个有 =10种方法， 综上共有15+30+10=55个．则④错误． 故答案为：②③．
对于①，集合{1，2}的非空子集个数为3，列举即可判断；
对于②，考虑集合M的子集构成的“三元集”存在最小相交“三元集”，且|M|＜3，讨论|M|=1，|M|=2不成立；
对于③，设A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，∵A∩B∩C=?，且x，y，z∈{1，2，3，4}，讨论A，B，C中元素个数，即可判断；
对于④，若集合|M|=n，若n=5，讨论满足条件的三元集的个数，即可判断．
本题主要考查集合的关系的应用，正确理解新定义是解决本题关键，利用排列组合的知识是解决本题的突破点．
三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)
16.商场决定对某电器商品采用“提价抽奖”方式进行促销，即将该商品的售价提高100元，但是购买此商品的顾客可以抽奖．规定购买该商品的顾客有3次抽奖机会：若中一次奖，则获得数额为m元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m元的奖金；若中3次奖，则获得数额为6m的奖金．假设顾客每次中奖的概率都是 ．设顾客三次抽奖后所获得的奖金总额为随机变量ξ． （Ⅰ）求ξ的分布列；
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