发布时间 : 星期二 文章数学分析中的化归法更新完毕开始阅读
间的端点上值的关系。可见，从“原函数”与“边界”的这个意义来看，格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，都是可以化为牛顿—莱布尼兹公式的，也就是格林公式、高斯公式、斯托克斯公式都能够在牛顿—莱布尼兹公式中找到自己的影子，这是数学思想上非常有意思的化归。
化归在数学分析中的显化，有化归在基本概念中的显化，化归在基本理论中的显化。例如，函数的连续性、导数、积分、无穷大（小）量、反常积分和级数的收敛，二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的定义等都是归结成为极限的方式来定义的；海涅定理揭示了函数极限与数列极限之间的关系，其意义是可以将数列极限的问题转化为函数极限的问题来处理，例如在求解数列的不定式极限时，可以将其转化为求解函数的不定式极限，从而运用洛必达法则求出极限，也可以将函数极限的问题转化为数列极限的问题来处理，通过数列极限的性质得到并证明函数极限的性质；微分中值定理揭示了函数及其导数之间的关系，其意义是可以讲函数问题转化为其导数的问题来研究，例如用导数来研究函数的单调性、凹凸性、最值、极值等问题；在积分中，二重积分、三重积分、第一、二型曲线积分、第一、二型曲面积分、无穷积分、瑕积分都可以转化为定积分来求解，求解定积分和不定积分的换元法和分部积分法都含有化归的思想。总之，数学分析这门课程到处都体现着化归这一思想。
3.2化归方法在数学分析解题中的体现
1.在极限中的体现
我们知道极限包括函数极限和数列极限，而在函数极限中有两个重要的极限：lim1xsinx?1,
x?0x，因此在解有很多函数极限计算的题目只要将其转化为两lim(1?x)?e（等价于lim(1?1)?e）
x?0x??x个重要极限的形式就很容易得出结果，例如
xsinx2sinx2xsinx2x?lim2??x?lim2?lim?limx?1?1?0?0， ①limx?0sinxx?0x?0x?0xsinxxsinxx?0②lim(1?)x??3x?x?lim(1?x??3)?x?x?33?3?3x???lim(1?)??e3
?x??x??3在函数极限中还有一种是关于不定式的极限的问题，不定式的极限形式主要是：
?0?0，，?-?，0??,00，0-0，?0以及1?等类型，其中，是两大基本的类型，而其他的形式?0?0?0?都可以通过取对数或者恒等变形的方法化为或型，从而应用洛比达法则来求解，而其中1类型
?0的题目求极限时可以转化为求第二个重要极限的类型。例如
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11x2?x?1?2x?12①lim(?)(\?0\型)?lim(\\型)?lim?lim?0 222x??xx??x??x??1?xx(1?x)?3x?16x11x(\0\型)?1 ②limx?sin(\??0\型)?limx??x??1x0xsin③lim(x?x?x)(\???\型)=limx??x??2xx2?x?x(\?\型)=limx???11? 211??1xx(\\型)=ex?0④lim?x?0x0limxlnx??\??\型??elnxlimx?0?1x?ex?0??lim1x1x2?1
1?11?lnt?t?11?t?11?1t⑤lim? ??lim?lim?lim?lim???t?1t?1t?1t?1t?1t?1t?1lntt?1lntt?1?tlnt2?lnt2?????lntt⑥lim(cosx?sinx)x?01sinx?\?\型?=e1limln?cosx?sinx?x?0sinx?0??\\型??e?0??sinx?cosxlimcosx?sinxx?0cosx?e
在上述解题过程中中我们通过化简、取对数等方法来实现恒等变形将其他的不定式极限都化归为\?0\型和\\型，从而应用我们所熟悉的洛比达法则解题。
0?在求数列极限的问题时，可以通过海涅定理将数列极限转化为函数极限，在判断函数极限的敛
散性时也可以将函数极限转化为数列极限，这体现了一般与特殊之间的转化，从而解决数列极限及函数极限敛散性的问题；而夹逼定理可以将原式放缩变形然后再求解。例如
n①limn?limn?limx?en??n??x??1n1x1limlnxx??x?e1x??xlim?1
2不存在
x?0x11证：设x'n?,x''n?n?N?
?n?n??4②证明极限limsin??则显然有x'n?0,x''n?0?n???，
limsinx?02?limsin2n??0 x'nn??13
limsin
x?02???????limsin2?n????lim?2n????1x''nn??4?n???2? ?2不存在。 x
所以极限limsinx?0③求lim?n???12?n?1?1n2?21n?111?2?1n2?31n?2?1,lim2......?? 2n?n?11n?n2解：由于nn?n2??......n?nn?111?1n22 并且limnn?n2n???limn??1nn??n?12?limn???1
所以由夹逼定理可得lim(n??1n?12?1n?22?......?1n?n2)?1
在解题时会遇到从表面上看比较复杂的题目，这时候我们可以通过换元变形的方法将其转化为较简单的问题，使的我们更容易解决问题。例如求极限lim?tln解：令t??t???3t?1??2t2?. t?1?1，则t??,x?0 xln原式=limx?01?x11?2x??2ln?1?x??ln?1?x??2x221?x1?x1?x?lim?lim?lim?x?0x?0x?031?x2x3x33x2??3
在求解某些二元函数的极限计算问题的时候，可以经过一些适当的变换如：x?x?t?,y?y?t?,可以使得二元函数在某一点处的极限转化为一元函数在该点处的极限，则可以用一元函数求极限的方法来求二元函数在该点处的极限了，例如：
?x2?y2,x,y???0,0?，?yx22?x?y已知：f?x,y???求limf?x,y?
?x,y???0,0??0,?x,y?=?0,0?，?解：对二元函数的自变量x,y作如下的极坐标变换x?rcost,y?rsint.则对
?x,y???0,0?等价于对任意的t都会有r?0.由于
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x2?y21212f?x,y??0?yx2?rsin4t?r,因此，对于任意的??0,只需要取2x?y44??2?,当0?r?y2?x2??时，则不管t取什么值都有f?x,y??0??，也就是
?x,y???0,?0. limf?x,y??0在二元函数的极限中含有一种我们熟悉的累次极限，而累次极限的求法是先对其中一个变量求极限，然后再对另一个变量求极限，因此我们可以看出求累次极限的实质也就是可以转化求一元函
x3?y3数的极限，例如：求函数f?x,y??2在点?0,0?处的累次极限。
x?yx3?y3x3解：limlim2?lim2?limx?0
x?0y?0x?yx?0xx?0x3?y3y3limlim2?lim?limy2?0 y?0x?0x?yy?0yy?02.在微分中的体现
在一元函数求导中，要掌握基本初等函数求导的公式以及求导的四则运算就可以了，由函数导数的定义，对于函数导数的研究都可以化归为函数极限的问题的研究。例如，求f?x??x在x?02处的导数，可以有两种方法：
①f'?x??2x,f'?0??0
f?x??f?0?x2?0?lim?0 ②f'?0??limx?0x?0x?0x二阶导数是在一阶导数的基础上定义的，因此求二阶导数就可以化为求一阶导数，一般的函数
f的n阶导数在其n?1导数的基础上定义的，因而求高阶导数都可以转化为求一阶导数。例如，
已知f?x??esinx?x，求f'''?x?
x2f'?x??excos?exsinx?2x?ex?cosx?sinx??2x
f''?x??ex?cosx?sinx??ex??sinx?cosx??2?2excosx?2 f'''?x??2excosx?2exsinx.
一元函数的导数是等于一元函数的微分与其自变量微分的商，即f'?x??dy，因此求一元函数dx的微分dy只要求一元函数的导数f'?x?再乘以dx就可以了，所以求一元函数的微分可以化归为求一元函数的导数。例如，已知f?x??sinx,求df?x? 1?x215