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二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法
2009-8-31
数理方程所解决的问题与高等数学（微积分）教科书中的常微分方程有很大区别，其中最显著的特点是多数微分方程的条件是边值问题，即知道未知函数在自变量变化区域的边界上的取值。这就是所谓的边值问题。最简单的是二阶常微分方程的两点边值问题。二阶常微分方程的解是一个一元函数，关于这个一元函数的信息，知道的不多，除了微分方程本身提供的之外，还有未知函数在一个区间的两个端点处的值。微积分所教给我们的技巧是先求出常微分方程的通解，再根据两个条件确定通解中的两个任意常数。
进入这门课之初，先回顾初值问题，再思考边值问题。在边值问题中，数理方程课程内容中出现了一个历史上非常著名的函数，即格林函数。
对力的分析中普遍使用一个方程：F=ma。这是著名的牛顿第二定律，其中，F表示力，m表示物体的质量，而a表示物体运动的加速度。由于加速度的物理意义可解释为物体运动时位移变量对时间的二阶导数，再结合使用虎克定律，就得出简单的振动所满足的二阶常微分方程
y????2y?0
如果考虑外力作用，该方程化为更一般的情况
?y????2y?f(x) ??y(0)??,y(0)???两个初始条件可解释为已经知道初始位移和初始速度。求解上面方程需要用常数变易法。先
回顾一阶常微分方程求解的方法，然后再讨论二阶常微分方程的常数变易法。
一、一阶常微分方程初值问题的常数变易法
一阶常微分方程常数变易法，用于解源函数不为零的常微分方程问题
?y?(x)?ry(x)?f(x),x?0 ?y(0)???先求解简化的（源函数为零）的方程：y?(x)?ry(x)?0
由分离变量：
dydy??rdx ??ry，? ydx积分：lny??rx?c，? y(x)?Cexp(?rx)
应用常数变易法，假设简化前的方程的解具有与简化后方程的解有相同形式，将常数替换为
待定的函数，即
y(x)?u(x)exp(?rx)
求导数，得
y?(x)?u?(x)exp(?rx)?ru(x)exp(?rx)
?u?(x)exp(?rx)?ry(x)
将其代入化简前的方程，得等式
u?(x)exp(?rx)?f(x)，? u?(x)?exp(rx)f(x)
积分，得u(x)??x0exp(r?)f(?)d??C
代入表达式y(x)?u(x)exp(?rx)，得
y(x)?[?exp(r?)f(?)d??C]exp(?rx)
0x应用初始条件，得解函数
y(x)??exp(?rx)??exp[?r(x??)]f(?)d?
0x从两部分解读解函数的意义。第一部分利用了初始条件的信息，第二部分利用了微分方程右端项的信息。它们分别是两个子问题的解
?y??ry?0?y??ry?f(x)，? ??y(0)???y(0)?0二、二阶常微分方程初值问题的常数变易法
应用常数变易法解二阶常微分方程初值问题
?y??(x)??2y(x)?f(x),x?0 ??y(0)??,y?(0)??先考虑化简后的方程：y????y?0。其辅助方程为：
2m2??2?0，? m??i?,
?x)?C2sin(?x) 通解为：y(x)?C1cos(假设化简前的方程的解具有相同形式，将常数替换为待定的函数，即
y(x)?u(x)cos(?x)?v(x)sin(?x)
在上式中，有两个未知函数待定。如果直接代入微分方程，可产生一个等式，由一个等式不
能唯一确定两个函数。如果人为增加一个等式，就可以构造出二元线性方程组，朗斯基行列式方法是成功的确定两个待定函数的方法，方法如下，对假设的函数求一阶导数，得
y??[u?cos(?x)?v?sin(?x)]?[??usin(?x)??vcos(?x)] 在上面表达式中，令第一个方栝号为零，产生一个等式
u?cos(?x)?v?sin(?x)?0
同时，由
y????usin(?x)??vcos(?x)
继续求导数，得
y???[??u?sin(?x)??v?cos(?x)]?[?2ucos(?x)??2vsin(?x)]
代入方程，产生第二个等式
??u?sin(?x)??v?cos(?x)?f
将两个等式联立，得线性代数方程组
?u?cos(?x)?vsin(?x)?0 ?????usin(?x)??vcos(?x)?f?或写成矩阵形式
sin(?x)??u???0??cos(?x)???sin(?x)?cos(?x)??v????f? ??????上式中系数矩阵行列式称为朗斯基行列式，由于
??利用克莱姆法则解方程组，有
cos(?x)sin(?x)??sin(?x)?cos(?x)??
?1?0fsin(?x)?cos(?x)??f(x)sin(?x)，?2?cos(?x)??sin(?x)0f?f(x)cos(?x)
u???1/???1x1?f(x)sin(?x)，v???2/??1x1?f(x)cos(?x)
积分，得两个待定函数表达式
u(x)????0f(?)sin(??)d??C1，v(x)???0f(?)cos(??)dgx?C2
代入常数变易法假设的函数中，得
y?C1cos(?x)?C2sin(?x)
?1?cos(?x)?sin(??)f(?)dx?0x1?sin(?x)?cos(??)f(?)d?
0x利用初始条件确定任意常数C1和C2，显然
C1??，C2??/?
代入并利用三角函数和差化积公式，得
?1xy(x)??cos(?x)?sin(?x)??sin[?(x??)]f(?)d?
??0三、二阶常微分方程两点边值的常数变易法
与初值问题相似的二阶常微分方程问题如下
?y??(x)?y(x)?f(x),x?(0,?/2) ?y(0)??,y(?/2)???与前面问题相比，只有??1，且第二初值条件改为了右端边界条件。利用常数变易法得
xxy?C1cosx?C2sinx?cosx?sin?f(?)dx?sinx?cos?f(?)d?
00利用边值条件确定任意常数，得
C1??，C2????代入，整理得
x?/20cos?f(?)d?
?/2y??cosx??sinx?cosx?sin?f(?)d??sinx?0xcos?f(?)d?
所以，有两点边值问题的解
y??cosx??sinx??其中，
?/20G(x,?)f(?)d?
??cosxsin?,0???xG(x,?)??
?sinxcos?,x????/2?这一函数被称为格林函数。
另一个简单的两点边值问题如下
?y???f(x),x?(0,1) ??y(0)??,y(1)??这一问题物理背景可解释为：在高速公路上狂奔的汽车，通过雷达测量得到了从起点到终点每一时刻的加速度f(x)，需计算汽车在各个时间的位置。 简化后的方程为：y???0，通解为：y?C1(1?x)?C2x。 应用常数变易法，令化简前的方程解为
y?u(x)(1?x)?v(x)x
由于朗斯基行列式为
??而
1?x?1x1?1
?1?所以
0fx1??xf(x)，?2?1?x?10f?(1?x)f(x)
u???xf(x)，v??(1?x)f(x)
积分并代入解，得
y?C1(1?x)?C2x?(1?x)??f(?)d??x?(1??)f(?)d?
00xx利用边界条件，得
C1??，C2????(1??)f(?)d?
01代入整理得
y??(1?x)??x?(1?x)??f(?)d??x?(1??)f(?)d?
0xx1所以
y??(1?x)??x??G(x,?)f(?)d?
01其中格林函数为
??(1?x)?,0???xG(x,?)??
?x(1??),x???1?如下两点边值问题中的边界条件为零值，即??0，??0。则方程的解为
y??G(x,?)f(?)d?
01格林函数的数学意义在于，对于任意的源函数f(x)，两点边值问题的解可以通过格林函
数和源函数的乘积的积分形式表示出来。使这一问题的解的存在唯一性变得显然。