发布时间 : 星期一 文章(全国通用版)2019高考数学二轮复习 12+4分项练9 直线与圆 文更新完毕开始阅读
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角相等,故C正确.
10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠BCA=90°,∠BAC=60°,AC=4,E为AA1的中点,点F为BE的中点,点H在线段CA1上,且A1H=3HC,则线段FH的长为( )
A.23 C.13 答案 C
1
解析 由题意知,AB=8,过点F作FD∥AB交AA1于点D,连接DH,则D为AE中点,FD=AB=4,
2又
B.4 D.3
A1HA1D==3,所以DH∥AC,∠FDH=60°, HCDA34
DH=AC=3,由余弦定理得
FH=42+32-2×4×3×cos 60°=13,故选C.
11.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆
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径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d≈似公式,根据π=3.141 59…判断,下列近似公式中最精确的一个是( )
3
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V,人们还用过一些类似的近3
A.d≈
60V 3115V 8
B.d≈2V
21V 11
3
33
C.d≈答案 D
D.d≈
44?d?33
解析 根据球的体积公式V=πR=π??,
33?2?
3
得d=
6Va6b,设选项中的常数为,则π=, πba31×6
选项A代入得π==3.1,
606
选项B代入得π==3,
26×8
选项C代入得π==3.2,
15
5
...
11×6
选项D代入得π==3.142 857,
21D选项更接近π的真实值,故选D.
12.已知四边形ABCD为边长等于5的正方形,PA⊥平面ABCD,QC∥PA,且异面直线QD与PA所成的角为30°,则四棱锥Q-ABCD外接球的表面积等于( ) 125125125A.π B.25π C.π D.π 2462答案 B
解析 因为PA⊥平面ABCD,QC∥PA,
所以QC⊥平面ABCD,且异面直线QD与PA所成的角即∠DQC, 所以∠DQC=30°, 又CD=5,所以QC=15. 由于CB,CQ,CD两两垂直,
所以四棱锥Q-ABCD的外接球的直径就是以CB,CQ,CD为棱的长方体的体对角线,设四棱锥Q-ABCD外接球的半径为
R,
5?5?2
则R=,所以外接球的表面积为4π·??=25π.
2?2?
13.如图所示,AB是⊙O的直径,PA⊥⊙O所在的平面,C是圆上一点,且∠ABC=30°,PA=AB,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________.
答案 2
解析 因为PA⊥平面ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在Rt△PAC11
中,AC=AB=PA,
22所以tan∠PCA==2.
14.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC.若AB=AC=AA1=1,BC=2,则异面直线A1C与B1C1所成的角为________.
PAAC
答案 60°
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...
解析 因为几何体是棱柱,BC∥B1C1,则∠A1CB就是异面直线A1C与B1C1所成的角,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱
2222AA1⊥平面ABC,AB=AC=AA1=1,BC=2,则BA1=AA1+AB=2,CA1=AA1+AC=2,所以△BCA1是正三角形,
故异面直线所成的角为60°.
15.(2018·南昌模拟)已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底边长分别为33,43,高为7,若该正三棱台的六个顶点均在球O的球面上,且球心O在正三棱台ABC-A1B1C1内,则球O的表面积为________. 答案 100π
解析 因为正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底边长分别为33,43, 取正三棱台的上、下底面的中心分别为E,E1, 则正三棱台的高为h=EE1=7,
在上下底面的等边三角形中, 22
可得AE=AD=3,A1E1=A1D1=4,
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则球心O在直线EE1上,且半径为R=OA=OA1, 所以OE+3=OE1+4,且OE+OE1=7, 解得OE=4,所以R=OE+3=5, 所以球O的表面积为S=4πR=100π.
256π
16.已知三棱锥O—ABC中,A,B,C三点均在球心为O的球面上,且AB=BC=1,∠ABC=120°,若球O的体积为,
3则三棱锥O—ABC的体积是________. 答案
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解析 三棱锥O—ABC中,A,B,C三点均在球心为O的球面上,且AB=BC=1,∠ABC=120°,则AC=3, 1343256π
∴S△ABC=×1×1×sin 120°=,设球半径为R,由球的体积V1=πR=,解得R=4.设△ABC外接圆的圆心
2433为G,∴外接圆的半径为GA=
2
2
2
2
3
=1,
2sin 120°
∴OG=R-GA=4-1=15, ∴三棱锥O —ABC的体积为
V2=S△ABC·OG=×
131335×15=. 44
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