发布时间 : 星期日 文章高中数学教案 - 等比数列第二课时更新完毕开始阅读
2.4等比数列（二）
教学目标
（一）．．．（二）．．知识与技能目标等比中项的概念；
掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．过程与能力目标
明确等比中项的概念；
进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．
教学重点教学难点教学过程
等比数列的通项公式、性质及应用．
灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题．
一、复习
1．等比数列的定义．
2. 等比数列的通项公式:
an?a1?qn?1(a1,q?0)， an?am?qn?m(am,q?0)， an?ABn(A,B?0)3．｛an｝成等比数列?an?1?q (n?N?,q?0)an4．求下面等比数列的第4项与第5项：
2132（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）,.,??;(4)2,1,，…….
3282 二、讲解新课：
思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？
1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列，那么称这个数G为a与
b的等比中项. 即G=±ab（a,b同号） ，则
反之，若G=ab,则
2Gb??G2?ab?G??ab，aGGb2?，即a,G,b成等比数列 ∴a,G,b成等比数列?G=ab（a·b≠0）aG例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m,G,n为所求的三个数,
有已知得m+n+ G =14, m?n?G?64, ?G2?mn, ?G3?64?G?4, ???m?n?10,?m?8,?m?2, ?? 或?m?n?16,n?2,n?8.???a,a,aq,则a3?64,?a?4, q ?这三个数为8,4,2或2,4,8. 解法二:设所求三个数分别为
又
1a4?a?aq?14,??4?4q?14 解得q?2,或q?,
2qq?这三个数为8,4,2或2,4,8.
2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则aman?apak 在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？ 由定义得：am?a1qm?1 an?a1qn?1 ap?a1q2p?1 ak?a1?qk?1
am?an?a1qm?n?2 ，ap?ak?a1qp?k?2
则aman?apak
例2. 已知{an}是等比数列，且an?0,2a2a4?2a3a5?a4a6?25, 求a3?a5．
2解： ∵{an}是等比数列，∴ a2a4＋2a3a5＋a4a6＝(a3＋a5)＝25,
又an>0, ∴a3＋a5＝5;
3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法
例3．已知?an??,bn?是项数相同的等比数列，求证?an?bn?是等比数列.
证明：设数列?an?的首项是a1，公比为q1;?bn?的首项为b1，公比为q2，那么数列?an?bn?的
第n项与第n+1项分别a1?q1n?1?b1?q2与a1?q1?b1?q2即为a1b1(q1q2)n?1与a1b1(q1q2)n
n?1nnan?1?bn?1a1b1(q1q2)n???q1q2. n?1an?bna1b1(q1q2)它是一个与n无关的常数，所以?an?bn?是一个以q1q2为公比的等比数列.
思考；（1）｛an｝是等比数列，C是不为0的常数，数列?can?是等比数列吗？ （2）已知?an??,bn?是项数相同的等比数列，??an??是等比数列吗？ ?bn?4．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或0 当q>1, a1<0,或0 例4． 已知无穷数列10,10,10,??10 求证：（1）这个数列成等比数列； （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 051525n?15x?1的图象有什么关系？ ,??， 1； 10 （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中． 1证：（1）an?10?105（常数）∴该数列成等比数列． n?2n?15an?1105 （2） an1101?n?4?10?1?，即：an?an?5． 10an?510510p?15n?15 （3）apaq?1010q?15?10p?q?25，∵p,q?N，∴p?q?2． ∴p?q?1?1且?p?q?1??N， ∴10p?q?25?1?n5???10?，（第p?q?1项）． ??四、练习：教材第53页第3、4题．