发布时间 : 星期五 文章2014.8学大伟业几何（学生讲义）更新完毕开始阅读
2014年8月
1.已知?ABC是等腰三角形，且AB?AC，A在BC上的投影为D，P为?ADC内一点，且?APB?90?，?PBD??PAD??PCB。设直线CP,BP与AD分别交于点
Q,R，T是线段AB上一点，S是AP延长线上的点，且满足?TRB??DQC，?PSR?2?PAR，证明RS?RT。
2.已知非等腰?ABC的内切圆
I与边BC,CA,AB分别切于点A1,B1,C1，直线AI与
?ABC的外接圆O分别交于点A2,B2,C2，直线B1C1,C1A1,A1B1与BC,CA,AB分别交于
点A3,B3,C3，直线A2A3,B2B3,C2C3与线交于一点。
3.已知?ABC的内切圆
O分别交于点A4,B4,C4，证明AA4,BB4,CC4三
I与边BC,AC分别切于点D,E，过点D作DP?BC，与
I交于点P，直线AP与BC交于点M。N为边AC上一点，且AE?CN，直线BN与
I,AM分别交于点Q,R，其中Q在B,R之间，证明S?ABR?SPQMN。
4.已知非等腰?ABC的外心、内心分别为O,I，边BC,CA,AB的中点分别为D,E,F，
I在边AB上的投影为T，?DEF的外心为P，线段OI的中点为Q，若A,P,Q三点共线，
证明
AOBC??4。 ODAT5.已知四边形ABCD内接于圆?，点P是AC的延长线上一点，且PB,PD与圆?相
切，过点C作圆?的切线，分别与直线PD,AD交于点Q,R，直线AQ与圆?的另一个交点为E，证明B,E,R三点共线。
6.已知四边形ABCD内接于圆?，?ACD和?ABC的内心分别为I1,I2，?ACD和
?ABC的内切圆半径分别为r1,r2，且r1?r2。圆??与边AB,AD相切，且与圆?内切于点T，过T,A分别与圆?相切的直线交于点K，证明I1,I2,K三点共线。
7.在圆内接凸四边形ABCD中，BC?CD，以C为圆心的圆?ABD的内心，证明过点I，且与AB平行的直线与C相切。
C与BD相切，I为
8.已知圆?与圆?内切于点P，圆?在圆?的内部，圆?的弦AB与圆?切于点C，直线PC与圆?的另一个交点为Q，圆?的弦QR,QS分别为圆?的切线，I,X,Y分别为
?APB,?ARB,?ASB的内心，证明?PXI??PYI?90?。
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9.已知O为锐角?ABC的外接圆，O1与O内切于点A，且与BC切于点D，设
?ABC的内心为I，?IBC的外接圆O2与O1交于两点E,F，证明O1,E,O2,F四点共
圆。
10.已知?ABC的内切圆与边BC,CA,AB分别切于点D,E,F，点F关于点B的对称点为T，点E关于点C的对称点为S，证明?AST的内心在?ABC的内切圆的内部或?ABC的内切圆上。
11.设P是锐角?ABC内任意一点，P关于边BC,CA,AB的对称点分别为A1,B1,C1，证明?A1B1C1的重心在?ABC的内部。
12.已知非等腰锐角?ABC的外心为O，P是边AB上一点，满足?BOP??ABC，Q是边AC上一点，满足?COQ??ACB，?APQ的外接圆为称的直线与
K，证明BC关于PQ对
K相切。
13.已知M是?ABC的角平分线AD的中点，以AC为直径的圆?1与线段BM交于点
E，以AB为直径的圆?2与线段CM交于点F，证明B,E,F,C四点共圆。
14.在非等腰?ABC中，其内切圆垂直于BI的直线与
I与边BC,CA,AB分别切于点D,E,F，过点E且
I交于点K，过点F且垂直于CI的直线与I交于点L，J是线段
ABKL的中点，证明?1?D,I,J三点共线；?2?若B,C为定点，A为平面上满足?k（kACI分别交于点M,N，直线MN为给定常数）的动点，且A,B,C三点不共线，直线IE,IF与
与IB,IC分别交于点P,Q，则PQ的中垂线恒过一个定点。
15.设?ABC中，?B,?C内的旁心分别为B1,C1，直线B1C1与?ABC的外接圆交于点
D?D?A?，过点B1,C1分别垂直于CA,AB的直线交于点E，?为?ADE的外接圆，过
点D与圆?相切的直线交直线AE于点F，过点D且垂直于AE的直线交AE于点G，交圆?于点H?H?D?，?HGF的外接圆与圆?交于点I?I?H?，若D在AH上的投影为J，证明AI过线段DJ的中点。
16.设两个锐角三角形的六个顶点在同一个圆上，若其中一个三角形的两边中点在另一个三角形的九点圆上，证明这两个三角形的九点圆重合。
17.已知锐角?ABC的外心为O，M,N,P分别为边BC,CA,AB的中点，?OBC，
?MNP的外接圆交于两点X,Y，且X,Y在?ABC的内部，证明?BAX??CAY。
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18.已知O是圆?1上一点，以O为圆心的圆?2与圆?1交于P,Q两点，圆?3与圆?2外切于点R，与圆?1内切于点S，且直线RS过点Q，若直线PR,OR与圆?1的第二个交点分别为X,Y，证明QX//SY。
19.已知?ABC的内切圆
I与边BC切于点D，ID的中点为T，过点I且垂直于AD的直线与AB,AC分别交于点K,L，过点T且垂直于AD的直线与AB,AC分别交于点
M,N，证明KMLN?BMCN。
20.设四边形ABCD有内切圆中点共线，证明AB?CD。
21.在?ABC中，已知过点B且与边AC切于点A的圆为?1，过点C且与边AB切于点A的圆为?2，圆?1与圆?2的另一个交点为D，直线AD与?ABC的外接圆的另一个交点为E，证明D是线段AE的中点。
22.已知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点P，点X,Y,Z分别在边AB,BC,CD上，使得
I，对角线AC,BD交于点E，若线段AD,BC,EI的
AXBYCZ???2，若XY,YZ分别为?CYZ,?BXY的外接圆的切线，证明XBYCZD?APD??XYZ。
23.已知?ABC的边BC上的点D,H满足AD平分?A，AH?BC，AD的中垂线与
以AB和AC为直径，且在?ABC的外部的半圆分别交于点X,Y，证明四边形XYDH为圆内接四边形。
24.在?ABC中，?A内的旁切圆?A与射线AB,AC分别切于点P,Q，?B内的旁切圆?B与射线BA,BC分别切于点M,N，点C在直线MN,PQ上的投影分别为K,L，证明
M,K,L,P四点共圆。
25.已知?ABC为锐角三角形，AH为边BC上的高线，J为?ABH中?B内的旁心，
I为?ACH中?C内的旁心，若?ABC的内切圆与边BC切于点P，证明I,J,P,H四点
共圆。
26.已知两个半径不等的圆
O,O?外离，O,O?的一条内公切线l与两条外公切线
l1,l2分别交于点B,C，过点B且与O,O?均外切的的圆O1与l1的第二个交点为P，
过点C且与
O,O?均外切的圆O2与l2的第二个交点为Q， 证明B,P,C,Q四点共圆。
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27.已知凸四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E，且?EDC??DEC??BAD。若F是线段BC上一点，且满足?BAF??EBF??BFE，证明A,B,F,D四点共圆。
28.在?ABC中，AB?AC，其外接圆为
O，以BA为半径的圆B与边AC交于
点K，与O交于点E，直线KE与O交于点F，直线BO与KE,AC分别交于点L,M，直线AE,BF交于点D，证明D,L,M,F四点共圆，且B,D,K,M,E五点共圆。
29.设O为锐角?ABC的外心，AO,BO,CO的延长线分别与BC,CA,AB交于点
D,E,F，若?ABC∽?DEF，证明?ABC是正三角形。
30.已知D是直角?ABC的斜边AB内一点，满足CD?CB，O为?ACD的外心，
OD,CB的延长线交于点P，,,,过点O作AB的垂线，与CD的延长线交于点Q，若ACPQ四点共圆，证明四边形ACPQ是正方形。
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