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一个乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗13秒，求乙车全长多少米？
【例10】客车通过250米长的隧道用了25秒，通过210米长的隧道用了23秒，又知道客车的前方有一辆与它行驶方向相同的货车，货车的车身长度为320米，速度为每小时61.2千米．问：客车与货车从相遇到离开需要多少时间？
点拨：比较题目中前面两个条件，可知客车的速度为每秒20米．
又可以求出客车的长度为250米．货车的速度为每小时61.2千米，也就是每秒17米． 客车与货车速度差为每秒钟3米．于是整个交错的时间为190秒．
六.时钟问题
这类问题通常是求时钟的时针、分针满足一定条件时的时间，属于追及问题的一种．时钟问题中时针、分针、速度总是一定的．以表盘上60个格作为路程，则时针每分钟走 格，分针每分钟走1格．它们的速度差为每分钟 格．合理利用这些条件是解题的重点．
【例11】8时到9时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等.问这时是8点多少分？
七.复杂行程问题
【例12】如图5，在一条直线上有四个车站ABCD，汽车在AB、BC、CD上的速度分别为30千米/时，40千米/时，50千米/时，两两速度一样的汽车甲乙分别从AB出发相向而行相遇于BC的中点，如果甲晚出发一小时他们将在B点相遇，如果甲速减半而乙速不变他们也将在B点相遇，求AD之间的距离。
答案：120千米，甲从A到B的时间为乙从D到C的时间，所以BC为40千米。
【例13】一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，客车每小时行32千米，货车每小时行40千米．两车分别到达乙地和甲地后，立即返回出发地，返回时的速度，客车每小时增加8千米，货车每小时减少5千米．已知两车两次相遇处相距70千米，问货车比客车早返回出发地多少小时？
答案：此题的关键在于要依次确定如下几个关键点的位置：1.客车与货车第一次相遇时的位置；2.货车调头时客车的位置；3.客车调头时货车的位置；4.客车与货车第二次相遇时的位置．下面我们依此思路求解．
我们设甲、乙两地之间的距离为单位“1”．根据题设的客车、货车初始速度，两车第一次相遇时距甲地 ，距乙地 ．
货车调头时，客车已行了全程的 ，当客车行进余下的 全程到达乙地时，货车将距甲地 ．此时，两车相距全程的 ，客车和货车的速度分别为每小时40千米和35千米，因此他们第二次相遇时距乙地 ．于是两相遇点相距全程的 ，而这又相当于70千米，故甲、
乙两地之间的距离是 千米．由于两车从乙地到甲地的速度均为每小时40千米，所用时间相等，故货车比客车早返回出发地为1.35小时．
人大附中分班考试班第六讲部分答案
第六讲 组合论证及杂题 一.抽屉原理
【例1】从任意的9个自然数中是否一定能够找到这样的两个数，使得大数减去小数的差是8的倍数？
解：能够找到这样的两个数，使得大数减去小数的差是8的倍数．任何一个自然数被8除所得到的余数必定为从0到7这8个数中的某一个，将这9个自然数按照被8除所得的余数进行分类，根据抽屉原理，必然有某一类中至少包含两个数．从至少含有两个数的分类中任选出两个数，这两个数被8除所得的余数是相同的，所以将这两个数按照大数减小数所得到的差一定是8的倍数．
【例2】将1～10随意填在右图的10个○中．试说明至少有一行的数字之和不小于15． (?)
【例3】17个同学参加一次考试，考试为3道判断题（答案只有对或错）。每位同学都在答题纸上依次写上了3个题目的答案，那么至少有几个同学的答案是一样的？ 3个。答题纸上只有2×2×2＝8种不同的答案，所以至少有3个同学答案一样。
二. 统筹与对策
【例4】小明中午要烧一个菜，煮一锅饭，烧1壶水。烧菜每道工序的时间如下：切菜4分钟，准备佐料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟。烧水每道工序的时间如下：洗水壶2分钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟。用电饭锅煮饭的过程如下，淘米4分钟，煮饭18分钟。小明家的煤气炉同时只能点一个火，那么小明做好这3件事情最短需要多少分钟？
先洗水壶烧水，共用2+15+2+2+4=25分钟。 【例5】
【例6】北京、上海、杭州三地同时研制成了大型电子计算机若干台，除本地应用外，北京
可以支援外地10台，上海可以支援外地4台，杭州可以支援外地6台。现在决定给汉口6台，重庆8台，深圳6台。若每台计算机的运费如右表，表中运费单位是“万元”。上海、北京和杭州制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省，最省运费是多少万元？ 118。
三．构造与论证
【例7】有四个算式： ； ； ； 。在每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数。那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有条件的限制，在这四个算式中最少有几个偶数，最多有几个偶数？
6个偶数；最少2个偶数，最多12个偶数。
【例8】能否从1~9这九个自然数中选出七个填入下图的小圆圈中，使得六个小三角形上各数之和是六个连续的1）自然数；2）偶数？
解析：1）否。六个连续的自然数之和为（首项+末项）×3，有等式：（首项+末项）×3＝所选的七数之和×2+中心圆圈里的数×4，所以首项+末项为偶数，但末项和首项的差为5是奇数，所以填不出。
2）否。因为六个连续偶数的平均数是奇数，而且外围互不相邻的三个小圆圈中的数奇偶性相同，那么中心圆圈必填奇数，有等式：六个连续偶数的平均数×6=所选的七数之和×2+中心圆圈里的数×4，得到奇数×6=偶数×2+奇数×4，矛盾！
【例9】一次歌唱比赛共有6名选手参加。比赛共有4名裁判负责打分，每名裁判给6名选手分别打上1分到6分各一次。已知不同裁判给同一名选手的打分至多相差2分，那么总分最低的选手最多可以得到多少分？
「简答」考虑得过1分的选手，不可能有四个，因此一定有一个选手至少得了两个1分，那么这名选手的总分至多是8分。容易构造出总分最低的选手恰好是8分的例子。
四. 最值问题
【例10】某小学课外活动中，数学兴趣小组中男同学的人数比女同学的两倍少11人，语文兴趣小组中女同学的人数比男同学多21人。如果两个兴趣小组中的男生人数相等，那么语文小组中的女同学最少要比数学小组中的女同学多多少人？
解析：16。从图中可见，两个小组女生的人数差为“1”多10人，由于男生人数为“2”少11人，所以“1”至少应该等于6人。这时两个小组女生的人数差达到了最小，为6+10=16人。
【例11】黑板上写着1，2，3，4??200各一个，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数最大是多少？
199．平均数肯定比200小。如果擦去1和3，写上2再擦去2和2，仍写上2，擦去2和4，写上3，再擦去3和5，写上4；??；擦去198和200写上199。
【例12】在1到6中选5个数填入，使得：□×（□－□）×（□－□）计算出的结果最大，这个最大的结果是多少？
64＝4×（5－1）×（6－2）。和一定，差越小乘积越大。
五. 逻辑推理
【例13】在三只盒子里，一只装有两个黑球，一只装有两个白球，还有一只装有黑球和白球各一个．现在三只盒子上的标签全贴错了．你能否仅从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么球？
【例14】老师写了一个三位数给甲乙丙丁戊五个同学看。甲说：这个数是27的倍数；乙说：这个数是11的倍数；丙说：这个数的数字之和为15；丁说：这个数是个平方数；戊说：他是648000的约数。老实说：他们中间只有三个人说真话。那么这个数是多少？
答案：丙丁矛盾，乙戊矛盾，所以甲是对的，从而丙不对，丁是对的，所以这数是81的倍数，如果乙是对的，那么这数是81×121的倍数不是三位数，所以戊是对的，这个数只能为81×4＝324。
课后练习：
1. 有210张卡片，1张1号，2张2号，3张3号，?，20张20号，那么至少要从中取出多少张卡片才能保证一定有7张号码相同的卡片． 1＋2＋3＋4＋5＋6×15＋1＝106。
2.哥哥和弟弟两人各有若干元钱，哥哥对弟弟说：“如果我给你100元，你的钱数将是我的5倍”。弟弟对哥哥说：“如果我给你一些钱，你的钱数将是我的8倍”。那么哥哥和弟弟分别最少有多少钱？
20。两人的总钱数必须是6和9的倍数，设两人的总钱数为“18”，两种情况相比哥哥的钱数差为“13”。即“13”=100+若干元，所以“1”最小是8。
3. 用尽可能小的整数乘以1997，使得乘积里面有连续的5个数字是9。请问这个尽可能小的数是多少？
1997×2003＝3999991。
4.从右图的9个交叉点中选择若干个点，使得其中任意4点都不是某个正方形（其边与原正方形的边平行）的四个顶点，这样的点最多能选择几个？ (6个)
5.小刚想了一个四位数，让小明猜。
小明问：“是7538吗？”小刚说：“猜对了两个，但位置不对。” 小明问：“是1269吗？”小刚说：“猜对了两个，但位置不对。” 小明问：“是3806吗？”小刚说：“猜对了两个，且位置正确。” 小明问：“是7239吗？”小刚说：“这回一个都没对。” 根据以上信息，写出小刚所写的四位数。 5816。