人大附中分班考试班部分答案

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一个乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时,到车尾经过他的车窗13秒,求乙车全长多少米?

【例10】客车通过250米长的隧道用了25秒,通过210米长的隧道用了23秒,又知道客车的前方有一辆与它行驶方向相同的货车,货车的车身长度为320米,速度为每小时61.2千米.问:客车与货车从相遇到离开需要多少时间?

点拨:比较题目中前面两个条件,可知客车的速度为每秒20米.

又可以求出客车的长度为250米.货车的速度为每小时61.2千米,也就是每秒17米. 客车与货车速度差为每秒钟3米.于是整个交错的时间为190秒.

六.时钟问题

这类问题通常是求时钟的时针、分针满足一定条件时的时间,属于追及问题的一种.时钟问题中时针、分针、速度总是一定的.以表盘上60个格作为路程,则时针每分钟走 格,分针每分钟走1格.它们的速度差为每分钟 格.合理利用这些条件是解题的重点.

【例11】8时到9时之间时针和分针在“8”的两边,并且两针所形成的射线到“8”的距离相等.问这时是8点多少分?

七.复杂行程问题

【例12】如图5,在一条直线上有四个车站ABCD,汽车在AB、BC、CD上的速度分别为30千米/时,40千米/时,50千米/时,两两速度一样的汽车甲乙分别从AB出发相向而行相遇于BC的中点,如果甲晚出发一小时他们将在B点相遇,如果甲速减半而乙速不变他们也将在B点相遇,求AD之间的距离。

答案:120千米,甲从A到B的时间为乙从D到C的时间,所以BC为40千米。

【例13】一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行,客车每小时行32千米,货车每小时行40千米.两车分别到达乙地和甲地后,立即返回出发地,返回时的速度,客车每小时增加8千米,货车每小时减少5千米.已知两车两次相遇处相距70千米,问货车比客车早返回出发地多少小时?

答案:此题的关键在于要依次确定如下几个关键点的位置:1.客车与货车第一次相遇时的位置;2.货车调头时客车的位置;3.客车调头时货车的位置;4.客车与货车第二次相遇时的位置.下面我们依此思路求解.

我们设甲、乙两地之间的距离为单位“1”.根据题设的客车、货车初始速度,两车第一次相遇时距甲地 ,距乙地 .

货车调头时,客车已行了全程的 ,当客车行进余下的 全程到达乙地时,货车将距甲地 .此时,两车相距全程的 ,客车和货车的速度分别为每小时40千米和35千米,因此他们第二次相遇时距乙地 .于是两相遇点相距全程的 ,而这又相当于70千米,故甲、

乙两地之间的距离是 千米.由于两车从乙地到甲地的速度均为每小时40千米,所用时间相等,故货车比客车早返回出发地为1.35小时.

人大附中分班考试班第六讲部分答案

第六讲 组合论证及杂题 一.抽屉原理

【例1】从任意的9个自然数中是否一定能够找到这样的两个数,使得大数减去小数的差是8的倍数?

解:能够找到这样的两个数,使得大数减去小数的差是8的倍数.任何一个自然数被8除所得到的余数必定为从0到7这8个数中的某一个,将这9个自然数按照被8除所得的余数进行分类,根据抽屉原理,必然有某一类中至少包含两个数.从至少含有两个数的分类中任选出两个数,这两个数被8除所得的余数是相同的,所以将这两个数按照大数减小数所得到的差一定是8的倍数.

【例2】将1~10随意填在右图的10个○中.试说明至少有一行的数字之和不小于15. (?)

【例3】17个同学参加一次考试,考试为3道判断题(答案只有对或错)。每位同学都在答题纸上依次写上了3个题目的答案,那么至少有几个同学的答案是一样的? 3个。答题纸上只有2×2×2=8种不同的答案,所以至少有3个同学答案一样。

二. 统筹与对策

【例4】小明中午要烧一个菜,煮一锅饭,烧1壶水。烧菜每道工序的时间如下:切菜4分钟,准备佐料4分钟,烧热锅2分钟,烧热油2分钟,炒菜4分钟。烧水每道工序的时间如下:洗水壶2分钟,用火烧水15分钟,把开水灌到热水瓶中需要2分钟。用电饭锅煮饭的过程如下,淘米4分钟,煮饭18分钟。小明家的煤气炉同时只能点一个火,那么小明做好这3件事情最短需要多少分钟?

先洗水壶烧水,共用2+15+2+2+4=25分钟。 【例5】

【例6】北京、上海、杭州三地同时研制成了大型电子计算机若干台,除本地应用外,北京

可以支援外地10台,上海可以支援外地4台,杭州可以支援外地6台。现在决定给汉口6台,重庆8台,深圳6台。若每台计算机的运费如右表,表中运费单位是“万元”。上海、北京和杭州制造的机器完全相同,应该怎样调运,才能使总的运费最省,最省运费是多少万元? 118。

三.构造与论证

【例7】有四个算式: ; ; ; 。在每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数。那么12个数中一共有多少个偶数?如果没有条件的限制,在这四个算式中最少有几个偶数,最多有几个偶数?

6个偶数;最少2个偶数,最多12个偶数。

【例8】能否从1~9这九个自然数中选出七个填入下图的小圆圈中,使得六个小三角形上各数之和是六个连续的1)自然数;2)偶数?

解析:1)否。六个连续的自然数之和为(首项+末项)×3,有等式:(首项+末项)×3=所选的七数之和×2+中心圆圈里的数×4,所以首项+末项为偶数,但末项和首项的差为5是奇数,所以填不出。

2)否。因为六个连续偶数的平均数是奇数,而且外围互不相邻的三个小圆圈中的数奇偶性相同,那么中心圆圈必填奇数,有等式:六个连续偶数的平均数×6=所选的七数之和×2+中心圆圈里的数×4,得到奇数×6=偶数×2+奇数×4,矛盾!

【例9】一次歌唱比赛共有6名选手参加。比赛共有4名裁判负责打分,每名裁判给6名选手分别打上1分到6分各一次。已知不同裁判给同一名选手的打分至多相差2分,那么总分最低的选手最多可以得到多少分?

「简答」考虑得过1分的选手,不可能有四个,因此一定有一个选手至少得了两个1分,那么这名选手的总分至多是8分。容易构造出总分最低的选手恰好是8分的例子。

四. 最值问题

【例10】某小学课外活动中,数学兴趣小组中男同学的人数比女同学的两倍少11人,语文兴趣小组中女同学的人数比男同学多21人。如果两个兴趣小组中的男生人数相等,那么语文小组中的女同学最少要比数学小组中的女同学多多少人?

解析:16。从图中可见,两个小组女生的人数差为“1”多10人,由于男生人数为“2”少11人,所以“1”至少应该等于6人。这时两个小组女生的人数差达到了最小,为6+10=16人。

【例11】黑板上写着1,2,3,4??200各一个,小明每次擦去两个奇偶性相同的数,再写上它们的平均数,最后黑板上只剩下一个自然数,这个数最大是多少?

199.平均数肯定比200小。如果擦去1和3,写上2再擦去2和2,仍写上2,擦去2和4,写上3,再擦去3和5,写上4;??;擦去198和200写上199。

【例12】在1到6中选5个数填入,使得:□×(□-□)×(□-□)计算出的结果最大,这个最大的结果是多少?

64=4×(5-1)×(6-2)。和一定,差越小乘积越大。

五. 逻辑推理

【例13】在三只盒子里,一只装有两个黑球,一只装有两个白球,还有一只装有黑球和白球各一个.现在三只盒子上的标签全贴错了.你能否仅从一只盒子里拿出一个球来,就确定这三只盒子里各装的是什么球?

【例14】老师写了一个三位数给甲乙丙丁戊五个同学看。甲说:这个数是27的倍数;乙说:这个数是11的倍数;丙说:这个数的数字之和为15;丁说:这个数是个平方数;戊说:他是648000的约数。老实说:他们中间只有三个人说真话。那么这个数是多少?

答案:丙丁矛盾,乙戊矛盾,所以甲是对的,从而丙不对,丁是对的,所以这数是81的倍数,如果乙是对的,那么这数是81×121的倍数不是三位数,所以戊是对的,这个数只能为81×4=324。

课后练习:

1. 有210张卡片,1张1号,2张2号,3张3号,?,20张20号,那么至少要从中取出多少张卡片才能保证一定有7张号码相同的卡片. 1+2+3+4+5+6×15+1=106。

2.哥哥和弟弟两人各有若干元钱,哥哥对弟弟说:“如果我给你100元,你的钱数将是我的5倍”。弟弟对哥哥说:“如果我给你一些钱,你的钱数将是我的8倍”。那么哥哥和弟弟分别最少有多少钱?

20。两人的总钱数必须是6和9的倍数,设两人的总钱数为“18”,两种情况相比哥哥的钱数差为“13”。即“13”=100+若干元,所以“1”最小是8。

3. 用尽可能小的整数乘以1997,使得乘积里面有连续的5个数字是9。请问这个尽可能小的数是多少?

1997×2003=3999991。

4.从右图的9个交叉点中选择若干个点,使得其中任意4点都不是某个正方形(其边与原正方形的边平行)的四个顶点,这样的点最多能选择几个? (6个)

5.小刚想了一个四位数,让小明猜。

小明问:“是7538吗?”小刚说:“猜对了两个,但位置不对。” 小明问:“是1269吗?”小刚说:“猜对了两个,但位置不对。” 小明问:“是3806吗?”小刚说:“猜对了两个,且位置正确。” 小明问:“是7239吗?”小刚说:“这回一个都没对。” 根据以上信息,写出小刚所写的四位数。 5816。

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