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电磁场与电磁波
习题
B和C如下：1.1给定三个矢量A、→=ex+ey2-ey3,→=-ey4+ez,→=ey5-ez2.
??
??
??
求：(1)→ (2)
eA
A?B；(3)A?B；(4)θAB (5)→在→上的分量；(6)→×
??
??
A
→;(7)A??B?C?和?A?B??C;(8)?A?B??C 和A??B?C?。 C
解：（1）→AA=ex+ey2?ey3e A
=
√1+4+9=ex√14+2ey3ez√14-√14 （2）A?B=|ex+ey6?ez4|=√53 （3）A?B=-8-3=-11 （4）cosθAB=?11√238,故θAB=135.5°
（5）|A|
→ cosθAB=A?BB=?11√17 ex
ey
ez
（6）A?C?|1
2?3|=?e10 5
0?2
x4?ey13?ez（7）B?C?ex8+ey5+ez20
A??B?C???A?B??C??42
exeyez
（8）A?B?C?|?10?1?4|=ex2?ey40+ee50?2z5
xeyez
A??B?C??|12?3|=ex55?ey44?ez11
8520
1.4给定两矢量A?ex2+ey3?ez4和B?ex4?ey5+ez6，求它们之间的夹角和→??
在→??
上的分量。
解：→|A|
=√4+9+16=√29
|→|B
=√16+25+36=√77
cosθAB=8?15?24√2233=?
31√2233故θAB=131°
|A|?cosθAB=-3.532 1.9用球坐标表示的场→=er
??
25r2
。
|E|
（1）求在直角坐标中点（-3,4，-5）处的→ 和Ex;
(2)求在直角坐标中点（-3,4，-5）处→与矢量→=ex2?ey2+ez构成的夹
??
??
角。
解：（1）在点（-3,4，-5）处，r=√9+16+25=5√2,故→ =,→=|E|2E
1
?ex3+ey4?ez5
10√2 故Ex=ex?E=?（2）cosθ=
3√2 20
19÷10√2E?B=?;θ=153.6°
1.5E?B1.11已知标量函数u=x2yz,求u在点（2,3,1）处沿指定方向el=ex
3√50+ey
4√50+ez
5√50的方向倒数。
解：?u=ex2xyz+eyx2z+ezx2y
?u?l?u?l
=2xy?
3√50+x2z? 4√50+x2y?
5√50; |(2,3,1)=112√501.12已知标量函数u=x2+2y2+3z2+3x?2y?6z。（1）求?u；（2）在哪些点上?u等于0？ 解：?u=ex
?u?x
+ey
?u?y
+ez
?u?z
=ex(2x+3)+ey(4y?2)+ez(6z?6)
?u=ex(2x+3)+ey(4y?2)+ez(6z?6)=0,x=-3/2,y=1/2,z=1 1.13方程u=2+
ax2
y2b2+2给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法
c
z2
向矢量。 解：?u=ex
2xa
+ey22yb
+ez2 2c
2z
|?u|=2√(2)+(2)+(2);
abc故其单位法向矢量为 en=|
?u?u|
x2y2z2=
ex2+ey2+ez2abc2y2z2√(x)+()+()a2b2c2xyz
; 1.16已知矢量→=ex(x2+axz)+ey(xy2+by)+ez(z?z2+czx?
E
2xyz),试确定常数a、b、c,使→为无源场。
E
解：由??E=(2x+az)+(2xy+b)+(1-2z+cx-2xyz)=0 解得a=2,b=-1,c=-2
1.20在球坐标系中，已知矢量→=era+eθb+eφc,
A
其中a、b、c均为常数。(1)问矢量→是否为常矢量；(2)求??A和?×A
A
解：（1）A=|→|=√a2+b2+c2; →的模为常数
A
A
用球坐标来表示，
→=ex(asinθcos?+bcosθcos??csin?)+ey(asinθsin?+
A
bcosθsin?+ccos?)+ez(acosθ?bsinθ), →随θ与?变化，故其不是常矢量
A
（2）??A=
1?r2?r
(r2a)+
1?
rsinθ?θ
(sinθb)+
1?c
rsinθ??
=
2ar
+
bcosθrsinθ
er1?
?×A=2|
rsinθ?rAr
A
reθ??θrAθrsinθe?
ccosθcb?
?eθ+e?2 |=er
rsinθrr??rsinθA?
1.22求矢量→=exx+eyxy2沿圆周x2+y2=a2的线积分，再计算?×A对此圆面积的积分。 解：∮→?dl=∮xdx+xy2dy
A
将直角坐标变换成圆柱坐标，则
24(2(2))原式=∮（?acosφsinφ+acosφsinφ)dφ 0
2π
=
πa44
πa44r
根据斯托克斯定理∫?×A?ds=
r
k
r
k
r
1.23证明：（1）??→=3;(2)?×→=0;(3)?(→?→)=→。其中→=exx+eyy+ezz,→为一常矢量。
k
解：（1）??→=div→=1+1+1=3
r
r
ex
(2) ?×→=|
r
??x
ey
??y
ez
??z
|=0
xyz
(3)设→=exAX+eyAy+ezAz;→?→=AXx+Ayy+Azz
k
k
r
??
?(→?→)=ex(AXx+Ayy+Azz)+ey(AXx+Ayy+Azz)kr?x?y?
+ez(AXx+Ayy+Azz)
?z =exAX+eyAy+ezAz =→
k