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2015高中数学 2.1合情推理与演绎推理练习 新人教A版选修2-2
一、选择题
1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A．
B．△ D．○
C．? [答案] A
[解析] 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
2．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an＝( ) A．2C．2
n－2
1
－ 2＋1
B．2－2 D．2
n＋1
nn－1
－4
[答案] B
[解析] ∵a1＝0＝2－2， ∴a2＝2a1＋2＝2＝2－2，
21
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
……
猜想an＝2－2.故应选B.
3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于( ) A．28 C．33 [答案] B
[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故应选B.
4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，
B．32 D．27
n
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A．6n－2 C．6n＋2 [答案] C
B．8n－2 D．8n＋2
[解析] 从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
5．图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含________个互不重叠的单位正方形．( )
A．n－2n＋1 C．2n＋2 [答案] B
[解析] 观察题中给出的四个图形，图(1)共有1个正方形，图(2)共有1＋2个正方形；图(3)共有2＋3个正方形；图(4)共有3＋4个正方形；则第n个图中共有(n－1)＋n，即2n－2n＋1个正方形．
6．n个连续自然数按规律排列下表： 01234567891011…
根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为( ) A．↓→ C．↑→ [答案] C
[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2012为↑→，故应选C.
二、填空题 7．观察下列等式： 1＝1， 1－2＝－3， 1－2＋3＝6， 1－2＋3－4＝－10， ……
由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N1－2＋3－4＋…＋(－1)________.
[答案] (－1)
n＋1
*,2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
B．2n－2n＋1 D．2n－n＋1
2
2
B．→↑ D．→↓
n＋12
n＝
n2＋n2
[解析] 注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n＝
nn＋
2
＝
n2＋n2
，注意到右
边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)
n＋1
n2＋n2
. 8．(2013·陕西文，13)观察下列等式： (1＋1)＝2×1；
(2＋1)(2＋2)＝2×1×3；
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝2×1×3×5； ……
照此规律，第n个等式可为__________________________________． [答案] (n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2×1×3×…×(2n－1)
[解析] 观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，等式右端是2与等差数列{2n－1}前n项的乘积，故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2×1×3×…×(2n－1)．
9．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．
nnn3
2
[答案] S＝4(n－1)(n≥2)
[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S＝4(n－1)(n≥2)．
三、解答题
10．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． π
2cos＝2，
4π
2cos＝2＋2，
8π
2cos＝2＋2＋2，
16……
π2
[证明] 2cos＝2·＝2
42
π1＋cos
4
＝2·2π1＋cos
8 2
1＋222
π2cos＝2
8
＝2＋2
π2cos＝2
16
＝2…
1
1＋2＋2
2
＝2
2＋2＋2
观察上述等式可以发现，第n个等式右端有n个根号，n个2，左端“角”的分母为π2,3,4
222，…，故第n个等式的左端应为2cosn＋1，由此可归纳出一般性的结论为：
2
π2cosn＋1＝2
2＋n2＋2＋… 个根号
一、选择题
11．已知数列{an}的前n项和Sn＝nan(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an等于( )
A．
2
n＋
2
2
B．
n2n＋
2C．n 2－1[答案] B
[解析] 因为Sn＝nan，a1＝1， 12
所以S2＝4a2＝a1＋a2?a2＝＝，
33×2
2
2D． 2n－1
a1＋a212
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝＝＝，
8
64×3
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4
?a4＝
a1＋a2＋a3
1512
＝＝. 105×42n＋
，故应选B.
4
3
所以猜想an＝
2
n12．观察(x)′＝2x，(x)′＝4x，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R