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第十章 定积分的应用
课后习题全解
§1 平面图形的面积（教材上册P242）
1．求由抛物线y=x2与y=2-x2所围成图形的面积。 解 该图形如图10-1所示.
y?x2先由y?2?x2求出两线交点(?1,1),所求面积为
{1183122x|A=?[(2?x)?x]dx??(2?2x2)dx=?2x?2=??13. 3?1?112.求有曲线y?|lnx|与直线x?10,x?10,y?0所围成图形的面积.
解 该图形如图10-2所示.
A???10.1lnxdx??101lnxdx
10 =(?xlnx?x)|10.1?(xlnx?x)|1 1 =10(99ln10?81)
3.抛物线y2?2x把圆x2?y2?8分成两部分,求这两部分面积之比.
y2?2x解 先由x2?y2?8
{求出圆与抛物线交点为?2,?2?. 设这两部分面积分别为s1及s2(图10-3)
s1?2?(??y2?y2)dy
0y23288?y?arcsin?1 =2(4226y)|0 2222 =2??43
s1?s2?8? ?s1/s2?(3??2)/(9??2)
4.求内摆线x?acos3t,y?asin3t(a?0)所围成图形的面积.(图10-4).
a解 s?4?ydx
0?4??(?3a2sin4tcos2t)dt20
?12a?3?a282??20(sin4t?sin6t)dt
5.求心形线r?a(1?cos?)(a?0)所围成图形的面积. 解 如图10-5所示
s?2?12?0?a2?1?cos??d?2
=
32?a2
6.求三叶形曲线所围成图形的面积. 解 如图10-6所示. s?6?12?aa?2sin3?d??2?a24
§2 由平行截面面积求体积(教材上册p246)
1. 如图10-9所示,直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截.试求截得楔形体的体积.
解 如图10-10所示,用垂直Oy轴的平面截割,得一直角三角形PQR设OP=z,则
5x?1高OR?102x从而它的面积为
1 212?x?1x?24x
xOz平面上椭圆方程为
x2 10?2z242?1
则?PQR面积为251?Z于是所求体积 42??4z2 V?2?251?42dz?20???25z?10016?z23?4|0
?4003
2. 求下列平面曲线绕轴旋转所围立体的体积.
(1)y?sinx,0?x??,绕x轴.(2)x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a<0),0?t?2?,绕x轴.(3)r=a(1+cos?)(a>0),绕极轴。（4）?b2?1,绕y轴.解
x2a2y2
?1?V???bay2(x)dx
V???0sin?2xdx??22
(2)V???y2(t)dx(t)
a2?223V??a(1?cost)a(1?cost)dt?5?a ?0b(3)V? V2?3?3??r(?)sin?d?,0????????,0?r?r(?)
2?3?2?y2?328?aa(1?cos?)sin?d??3??23
x(4)由?b2?1,得y?b1?a2x2a2aa2222 4则V???ydx?2??b(1?b)dx??ab?3a2?a03．以知球半径为r，验证高为h的球缺体积（图10-11）
hV??h(r? 3)(h?r)
2解 V???(r2?x2)dx
r?hr ???rx??2x23rr?h
2??h?r?h 3?
§3 平面曲线的弧长与曲率（教材上册P252）
1．求下列曲线的弧长
?1?y?x32,0?x?4;(2)x?y?1;(3)x?acos3t,y?asin3t(a?0),0?t?2?;(4)x?a?cost?tsint?,y?a(sint?tcost)(a?0,0?t?2?);(5)r?asin3?3(a?0,0???3?);(6)r?a?(a?0),0???2?. 解
(1)s??ba1?y'2(x)dx
82741?9 s??4xdx?0(1010?1)
(2)x?cos4(t),y?sin4t
?222s?x'?y' ?0ttdt