发布时间 : 星期一 文章《因式分解》各地自主招生试题精选更新完毕开始阅读
理，最后解得（c+a﹣2b）2=0，即可证出结果． 【解答】解：∵（c﹣a）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）=0， ∴c2﹣2ac+a2+4ac﹣4ab+4b2﹣4bc=0， 即 （c+a）2﹣4b（a+c）+4b2=0 （c+a﹣2b）2=0 ∴2b=a+c
【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键．
23．一个自然数（即非负整数）若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”．例如，16=52﹣32就是一个“好数”． （1）2014是不是“好数”？说明理由．
（2）从小到大排列，第2014个“好数”是哪个自然数？ 【分析】（1）根据题意得出是好数，要么是奇数要么能被4整除，进而得出答案； （2）首先得出从小到大的“好数”为：0，1，3，4，5，7，8，9，11，12，13，…，进而求出第2014个“好数”． 【解答】解：（1）2014不是“好数”．如果2014是“好数”，不妨设2014=m2﹣n2（m，n为自然数）， 则（m+n）（m﹣n）=2×1007，而m+n，m﹣n的奇、偶性相同，即（m+n）（m﹣n），要么是奇数要么能被4整除． 所以2014不是“好数”．
（2）设k为自然数，由（1）类似可得如4k+2的自然数都不是“好数”， （k+1）2﹣（k﹣1）2=4k，（k+1）2﹣k2=2k+1， 故4k，2k+1的自然数都是“好数”，
所以从小到大的“好数”为：0，1，3，4，5，7，8，9，11，12，13，… 所以第n个“好数”为：n﹣1+[]，
所以第2014个“好数”为2684．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据题意正确判断好数是解题关键． 24．（2001?安徽自主招生）已知x、y、z是整数，且x＜y＜z，求满足
的x、y、z的值．
【分析】根据已知将①是变形为z=﹣（x+y），代入②式，再利用立方公式求出﹣3xy（x+y）=﹣18，进而求出xyz=﹣6，再利用x、y、z是整数，且x＜y＜z，求出即可． 【解答】解：
由①得，z=﹣（x+y），将它代入方程②，得 x3+y3﹣（x+y）3=﹣18， ﹣3xy（x+y）=﹣18． 将x+y=﹣z代入上式，得
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xyz=﹣6．
又∵x+y+z=0，x、y、z是整数，且x＜y＜z， ∴x=﹣3，y=1，z=2， 即：
．
【点评】此题主要考查了立方公式的综合应用，根据已知得出xyz=﹣6，进而得出x，y，z的值是解决问题的关键． 25．（2009?宁海县校级自主招生）宁海中学高一段组织了围棋比赛，共有10名选手进入了决赛，决赛阶段实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手胜a1局，输b1局；二号选手胜a2局，输b2局，…，十号选手胜a10局，输b10局．试比较a12+a22+…+a102与b12+b22+…+b102的大小，并叙述理由．
【分析】依题意可知，a1+b1=9，a2+b2=9，a3+b3=9…，故：b1=9﹣a1，b2=9﹣a2，b3=9﹣a3…，用作差法列式，比较大小，运用乘法公式对式子变形，得出结论． 【解答】解：依题意可知，a1+b1=9，a2+b2=9，a3+b3=9…， 且a1+a2+…+a10=b1+b2+…+b10=45，
∴（a12+a22+…+a102）﹣（b12+b22+…b102）=（a12﹣b12）+（a22﹣b22）+…+（a102﹣b102） =（a1+b1）（a1﹣b1）+（a2+b2）（a2﹣b2）+…+（a10+b10）（a10﹣b10） =9[（a1+a2+…+a10）﹣（b1+b2+…+b10）] =0，
∴a12+a22+…+a102=b12+b22+…b102．
【点评】考查了因式分解的应用，本题根据基本等式，运用作差法、换元法，得出关于a的式子，分类讨论．
26．a，b，c为非零实数，a2+b2+c2=1，a+b+c的值．
【分析】首先将原式变形，进而得出a（++）+b（++）+c（++）=0，得出a+b+c=0或bc+ac+ab=0．进而代入求出答案． 【解答】解：将a（
+）+1+b（
+）+1+c（
变形如下，
+）+1=0，
，求
即a（++）+b（++）+c（++）=0， ∴（a+b+c）（++）=0， ∴（a+b+c）?
=0，
∴a+b+c=0（舍）或bc+ac+ab=0．
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若bc+ac+ab=0，则
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）=a2+b2+c2=1， ∴a+b+c=±1．
∴a+b+c的值为1，﹣1，0．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确将已知变形得出（a+b+c）（++）=0是解题关键．
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