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【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态 (1s)(2p)
2
1
-1
21
→(1s)(2s)跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ·mol为单位的能量。
2.998?108m?s?1????4.469?1014s?1?670.8m解： 114?1????1.491?10cm?670.8?10?7cm
?3414?1E?h?NA?6.626?10J?s?4.469?10sc ?6.6023?1023mol-1 ?178.4kJ?mol-1
【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10s，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？
-14-1
1hv?hv0?mv22解：
????2h?v?v0???m??12??34?2?6.626?10J??????34?2.998?10ms14?1??s??5.464?10s???9?300?10m???31?9.109?10kg??
8?112?2?6.626?10Js?4.529?10s????9.109?10?31kg???8.12?105ms?1
【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：
（a） 质量为10kg，运动速度为0.01m·s的尘埃； （b） 动能为0.1eV的中子； （c） 动能为300eV的自由电子。
解：根据关系式：
-10
-1
14?112h6.626?10?34J?s?22????10?6.626?10m?1mv10kg?0.01m?s(1) (2)???hh?p2mT6.626?10?34J?s2?1.675?10?27kg?0.1eV?1.602?10?19J??eV??1 ?9.403?10-11m
(3) ?? ?hh?p2meV6.626?10?34J?s2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?300V
?7.08?10?11m
【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV，计算电子加速后运动时的波长。
解：根据de Broglie关系式：
???hhh??pm?2meV6.626?10?34Js2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?2?105V
?2.742?10?12m
【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度??为?的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：
x??hm??hm2eV/m?1046.626?1?0Js?103V1031192?9.10?91?0kg?1.6?02?1C0?10?3.88?1?0m
这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。
?6【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约10m）观察不到电子衍射（用100000V电
压加速电子）。
解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：
hh1??1.226?10?9mpxh/?V1?1.226?10?9m10000?1.226?10?11m x?这不确定度约为光学光栅周期的10
－5
倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光
学光栅周期的10倍，用光学光栅观察不到电子衍射。
解法二：若电子位置的不确定度为10m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：
－6
－5
在10V的加速电压下，电子的动量为：
4
h6.626?10?34Js?px???x10?6m?6.626?10?28Jsm?1 px?m?x?2meV?2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?104V?5.402?10?23Jsm?1由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：
??arcsin??arcsin?pxpx?6.626?10?28Jsm?1?arcsin??23?1??5.402?10Jsm?arcsin10?5
这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射
?0o?d222??4ax??2?ax2dx?的本征函数，求其本征值。 【1.11】??xe是算符?解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：
?d2?d222?22??ax2?4ax???4axxe?2??2??dx??dx?
2d?ax222?ax2?2xe?4axxedx
22d?ax2?e?2ax2e?ax?4a2x3e?axdx??????2axe?ax?4axe?ax?4a2x3e?ax?4a2x3e?ax
?ax2??6axe
因此，本征值为?6a。
2222??6a?d22【1.12】下列函数中，哪几个是算符dx的本征函数？若是，求出本征值。
x3e,sinx,2cosx,x,sinx?cosx
d2d2x? ex22dx解：，e是dx的本征函数，本征值为1。
d2d2sinx?1?sinx,2sinx是dx2的本征函数，本征值为1。 dxd2(2cosx)?2cosxdx2
【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为
值。
?n?x??式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标
2n?xsinll n?1,2,3??? ?0?x?l?，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均
解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：
222hd2nπxhd2nπnπx?ψ(x)?-H(sin)?-(cos)n2228πmdxll8πmdxlll h22n?n?n?x??2??(?sin)8?mllll h2n2?22n?xn2h2??2?2?sin??n(x)8?mlll8ml2 n2h2E?8ml2 即：
??n(x)?c?n(x),x?无本征值，只能求粒子坐标的平均值： x（2）由于
*?2n?x?l?2n?x??x???dxx????x??x?n?x?dx???sinsin??00?0l?l??l?l?
x??l?1?cos2n?2ln?x2??l?dx??xsin2?dx??x???l0l0?2??l???
1?x2ll?2n?x?lll2n?x???0?xsin?sindx???0?0l?22n??l?2n?l? l?2
?x?n?x??c?n?x?,p?xpl*nl??（3）由于
10无本征值。按下式计算px的平均值:
*?x?n?x?dxpx???n?x?p
2n?x?ihd?2n?xsin?sindx??0ll?2?dx?ll nihln?xn?x??2?sincosdx?0l0ll ??1 1】函数
??x??22/asin(?x/a)?32/asin(2?x/a)是否是一维势箱中粒子的一种可
能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。
?1?x??2/asi?n(xa/?)x?2/asin(2?x/a)和2??都是一维势箱中粒子的可能状态
解：该函数是长度为a的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为函数