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基于最小二乘法的测力环线性回归分析与检验
摘要：基于最小二乘法的测力环线性回归分析是解决测力环线性拟合方程的分析方案。基于它分析建立的回归方程回归直线误差（标准差）最小，是测力环回归分析的最佳方法。
关键词：最小二乘法；线性回归；测力环；F检验
Abstract：The linear regression analysis based on least square method is the project of solving dynamometer’s equations of linear regression．The linear regression error (standard deviation) Based on its analysis of the regression equation established is the smallest and optimal.
Key words：Least square method Linear regression Dynamometer 概述
百分表式测力环因其经济实惠、使用方便等优点是当前公路、铁路工程试验检测中常用仪器，在交通部行业规程JTG E40-2007《公路土工试验规程》中路基土壤、集料等试验方法里被大量使用。应用百分表式测力环分析计算试验结果时必须首先获得测力环的线性回归系数，因此测力环线性回归分析对试验数据处理尤为重要，其线性系数的准确性将直接影响最终试验结果数据分析的准确性、可靠性。
在工程实践中，当前大多数试验室采用简便的回归分析方法—平均值法。其计算方法便于理解，计算方法简便深受试验人员喜欢。但是其精准度较低，对试验数据的线性要求很高等缺点使得回归分析的结果准确性大受影响。
最小二乘法原理是测量结果的最可信赖值应在实测值和拟合值方差最小的情况下所得，最有效地减少了随机误差的影响。采用最小二乘法进行的回归分析精度高，最可信赖，因而是测力环线性回归分析方法的最佳选择。图1为最小二乘法和平均值法获得的回归曲线。从图中可以明显看出最小二乘法比平均值法更贴近实际，拟合效果也更好。
最小二乘回归方程曲线 35 30 25 标准力 ( kN ) 平均值法回归方程曲线 20 15 10 5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 进程( mm ) 图1 最小二乘法和平均值法获得的回归曲线
1 测力环线性测量数据和回归模型
按照JJG 455-2000要求，用标准测力仪和数显千分表对30kN测力环进行测量，获得数 据如表1。
表1 测量数据结果
实测力值（kN） 千分表示值（mm） 实测力值（kN） 千分表示值（mm）
0 0 18 1.291 3 0.214 21 1.509 6 0.425 24 1.727 9 0.640 27 1.946 12 0.856 30 2.168 15 1.072 — — 测力环荷载量和千分表行程具有线性关系，设测量数据有如下结构形式：
yt??0??xt??t t=1，2，………………N
（1）
式中：?1………?N分别表示其他随机因素对yt影响的总和，一般假设为他们是一组相互独立，并服从同一正态分布N（0，?）的随机变量。在测力环测量过程中，将行程x看做一般变量而不作为随机变量，因而忽略?的影响。 2 线性回归模型的参数估计
我们用最小二乘法来估计参数?0和?，设b0和b为?0和?的最小二乘估计，
即线性
??b0?bx，式中y?为最小二乘估计值，b0和b是回归方程的回归系数。对方程y??b0?bx确定一个回归值y?，?之每一个xt，由方程y则实际测得值与这个回归值y差即残余误差vt：
?t?yt?b0?bxt t=1，2，………………N vt?yt?y应用最小二乘法求解回归系数，就是在残差平方和为最小的条件下求解回归系数
b0和b。
根据最小二乘法的矩阵求解可以解得b0和b，分别是：
b??xytt?1Nt?1Nt1?N(?xt)(?yt)t?1t?12t1?N(?xt)2t?1NNN （2）
?xb0?y?bx （3）
列表进行回归方程的具体计算，计算见表2.
表2
NN?x=11.848mm ?ytt?1Nt?1t=165kN x=1.0771mm y=15kN
NN?xi?12t=17.93137mm
2
?yt?12t=3465kN
2
?xytt?1t=249.261kN·mm
代入公式（2）（3）得到
b0=0.095517kN
b=13.83772kN/mm
??0.095517?13.83772x y 3 回归方程的方差分析和显著性检验 3.1 回归方程的方差分析
根据最小二乘法原理可以得知，N个实际测量值的变差ST称为总离差平方和，
它由两部分组成，一是回归平方和SA，另外一部分是残余平方和SE，计算公式如下：
ST?SA?SE??(yt?y)2 （4）
t?1N?t?y)?b(?xty??xt?yt) （5） SA??(y2t?1t?1t?1t?1NNNN SE??(yt?1Nt?)2 （6） ?y总离差平方和共有N项，因此其自由度fT为N-1。回归平方和对应的自变量只有1个，因此其自由度fA为1，因此残余平方和的自由度fE为N-2。将表1数据代入可以得到：
22ST?990kN2 SA?989.9644kkN N SE?0.035636
fT=11-1=10 fA=1 fE=11-2=9
3.2 回归方程的显著性检验
回归方程是否显著即线性关系是否密切，一般地采用相关系数法和F检验法进行验证。3.2.1 相关系数法
Pearson（皮尔生）乘积矩相关系数 r是反映两个数据集合之间的线性相关程度的无量纲指数，计算公式如公式（7），它的范围在 -1.0 到 1.0 之间（包括 -1.0 和 1.0 在内），其绝对值越接近1说明线性相关程度越好，反之则不好。
n(?xt)?(?xt)(?yt)t?1t?1t?1NNNr??22??22?nx?(x)ny?(y)??tt??t???t?t?1t?1?t?1??t?1?NNNN （7）
对表1测量结果进行计算得到相关系数r=0.9999，可以说线性相关程度非常
好。
3.2.2 F检验法 对一元线性回归有：
F?sA/fA=2.5×105 （8）
sE/fEF分布中两个自由度分别对应fA和fE，即1和9，查F分布表F0.01（1，9）=10.56，而F远大于F0.01（1，9），因此称为回归高度显著，x、y之间线性关系相当密切。 4 基于最小二乘法线性系数的回归在Excel中的实现
最小二乘法是数据处理中最活跃和应用最广泛的方法，但是当N较大时，数据计算工作量较大，计算过程中也容易产生偏差。office中的Excel统计函数就能帮助很好地解决此问题，首先将实验得到的自变量x和因变量y整理成两个数组，使用基于最小二乘法的LINEST函数对已知数据进行最佳直线拟合。同时使用Pearson乘积矩相关系数 r检验数组的线性相关程度。
因此，利用Excel函数统计功能计算测力环线性回归系数的方法大大减少了工作量，提高了计算精度，方法可复现性强，为工程计算提供来方便。 5 结语讨论
基于最小二乘法的测力环线性回归分析是根据最小二乘法原理，对测力环的荷载和指示表行程之间的线性关系进行最佳直线拟合，再通过方差分析和检验对其线性关系的密切性进行评价。为公路工程试验检测提供了较高精度的数据处理方法，试验数据处理与Excel相结合更是大大提高了工作效率，并提供了直观的曲线拟合界面，因此具有很好的实际应用价值和推广意义。