发布时间 : 星期四 文章物理学本科毕业论文 武汉大学近十年量子力学 部分考研真题的分类解析更新完毕开始阅读
mke4③同理，求得的氢原子基态能为：E基??。
2?
例题5.2（2011年）应用能量—时间测不准关系估算正负电子对湮没的最远距离。
分析：正负电子对碰撞之后湮灭，会出现能量亏损，这样我们很容易就会想到用质能方程求解。 解：正负电子对发生湮灭时，能量变化为： ?E?mec （5.2.1） 能量时间测不准关系 ?E??t:h （5.2.2） 联立（5.2.1）和（5.2.2），知发生湮灭的最远距离为：
2?s?c??t:
hchc?13??3.87?10m 2?Emec 1.6 表象理论相关习题求解
该部分知识真题考的较少，主要运用矩阵力学的知识解答。初步认为，这是以后的命题趋势，笔者在参加2013年的考试时，量子力学的最后一个大题便是这类题。
例题6.1（2011年）某一体系的哈密顿算符及另两个力学量算符分别为：
?100??100??010???????H???0?0?10?，F?f?001?，G?g?100?
?00?1??010??001????????2?1??假定t=0时刻，体系态矢量为?(0)??1?，求
2???1?㈠t>0时刻体系态矢量?(t)；
㈡在态?(t)下，体系的力学量H、F、G各自的期望值，及可能取值，以及相应概率。
?100???解：①?H?h?0?0?10?为对角矩阵，?其本征值为其主对角线元素：h?0，?h?0，?h?0
?00?1???即：?1?h?0，?2??3??h?0 相应的本征矢为：
?1??0??0???????E1??0?，E2??1?，E3??0? （6.1.1）
?0??0??1???????14
t?o时，得?(t)，联立（6.1.1）按能量本征态展开：
3i?Enth?(t)??CnEne?1????C1?0?e?i?0t+C2?0???i?0t?1?e+C3?0???i?0t?0?e （6.1.2） n?1??0????0????1??t?0时，将（6.1.2）代入?(0)得：
??2??1???2??(0)?C???0??0??C1?+C?0??1????1???2?+C0(0)?? ?0???3?0??1???0??????C2??1????C3???2??1????2??求解（6.1.3）式，得：C1?22,C?C123?2 ??2e?i?0t??2?得： ?(t)???1?ei?0t??2? ?1??ei?0t??2??②i.H?的可能值为：??、10???0，相应几率：2、12，平均值：0 ii.对于力学量F而言，其本征方程为： F????? f??00久期方程：
0??f?0 0f??解（6.1.5）得： ?1??f，?2??3?f 将（6.1.6）代回（6.1.4），求得力学量μF相应的归一化本征矢为： ?0??1??0??1??????1?2??1??，?1??0?，?3??1 ?1????0?????1??将?(t)按力学量μF相应的归一化本征矢展开： ??t????1???2???3 15
6.1.3） 6.1.4） 6.1.5）
6.1.6）
6.1.7）
6.1.8）
（ （ （ （ （ （
μ可能的取值为： 求解（6.1.8）得到?、?、?的值。可算得力学量Fμ的平均值为：f。 ?f和f，相应几率为0、1。可以得到力学量Fμ的平均值为：iii.求解思路同ii，得力学量G
22g?gcos(2?0t) 82 1.7 近似理论的应用
1.7.1 非简并定态微扰
微扰理论常常无法单独考，而是以某一物理模型为载体来考查。常见的模型有平面转子和空间转
子模型。关于这两个模型放到第二篇中介绍。
例题7.1（2007年）一个粒子质量为M，在xy平面上距离定点O为恒定R绕O点转动，这个体系称为平面转子。
㈠求体系的能谱和归一化定态波函数；
㈡若平面转子带电荷q，处于恒定均匀外场E中，E的方向沿x轴，如果外电场非常强，再求体系的能谱；
㈢如果外电场很弱，试应用定态微扰理论求体系的基态能量的一级修正和二级修正。 解：①平面转子模型的能谱和归一化波函数如下：
uvuvn2h2能谱：En?，其中(n?0,?1,?2,LL)
2I归一化波函数：?????2IE1in?。 e，n?h22?h2d2μ?EqRcos? （7.1.1） ②在电场中，体系的哈密顿算符为： H??2Id?2求体系的能谱即是求（7.1.1）式的本征值。当外电场很强时，粒子只能在很小的角度内转动， 即： ??0，cos?:1?那么将（7.1.2）代入（7.1.1）式得：
?22 （7.1.2）
h2d21μH???EqR?2?EqR (7.1.3) 22Id?222hd12μ0?Hμ?EqR=??EqR?令： H （7.1.4） 22Id?2可见（7.1.4）式与一维线性谐振子的哈密顿量相似，可得：
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μ0的本征值为：(1?n)h?，其中??H2EqR Iμ的本征值为：(?n)h??EqR 同理，H③分析：基态无简并，可由定态非简并微扰计算，这里：
12H???qR?cos? （7.1.5）
?0??nH??0=?代入????可得微扰矩阵元为： Hn(1)qR?(?n,1??n,?1) （7.1.6） 2??0 i.由（7.1.6）式可得基态能级的一级修正为：E0?H00ii.同理，可得基态能级的二级修正为：E
2$Lμ0?L是角动量算符，I是转子例题7.2（2008年）一自由粒子的三维哈密顿量为：H式中，$2I(2)0?m?n?E?Hnm(0)n2(0)?Emmq2R4?2=?。 2h的转动惯量。
㈠求能谱与相应的简并度；
㈡若给此转子施加以微扰H???sin?，求基态能级移动（直至二阶微扰）。
解：分析，该题目的求解思想与例题7.1相似，只是这里的模型换成了空间转子，比平面转子多出一维。要用到球谐环数，在此我们不做具体计算，只给出结果。 ①能谱：El?l?l?1?h22I；简并度：2l?1
(0)(1)(2)②能级移动至二阶微扰：En?E0?E0?E0
???4
1.7.2 简并定态微扰
简并微扰是学习中的难点，其精髓在于在兼并子空间中将非对角矩阵元对角化。至于简并微扰的其他内容和非简并微扰相同。在计算的过程中也是相当繁琐的，需要细心谨慎。
例题7.3（2004年、2000年）一个质点在xy平面上绕固定点O并与O点保持距离为运动的体系称为平面转子。设质点的质量为?，质点与固定点O的距离为R。 ㈠求体系的能谱和归一化定态波函数组；
urur㈡若平面转子带电荷q，置于恒定均匀磁场B中，B沿Z轴正方向，再求体系的能谱；
㈢如果平面转子不是置于磁场中，而是受到微扰作用：H??V0?(???0)，试求出其任一激发态能量
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