发布时间 : 星期日 文章高中数学新人教版必修一全套学案更新完毕开始阅读
例14.已知函数y?f(x)是定义在R上的周期函数,周期T?5,函数
y?f(x)(?1?x?1)是奇函数,又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x?2时函数取得最小值?5。
①证明:f(1)?f(4)?0; ②求y?f(x),x?[1,4]的解析式; ③求y?f(x)在[4,9]上的解析式。 解:∵f(x)是以5为周期的周期函数, ∴f(4)?f(4?5)?f(?1), 又∵y?f(x)(?1?x?1)是奇函数, ∴f(1)??f(?1)??f(4), ∴f(1)?f(4)?0。
②当x?[1,4]时,由题意可设f(x)?a(x?2)2?5 (a?0), 由f(1)?f(4)?0得a(1?2)2?5?a(4?2)2?5?0, ∴a?2,
∴f(x)?2(x?2)?5(1?x?4)。 y?fx()(1??x?)1③∵是奇函数,
∴f(0)?0,
又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数,
2∴可设f(x)?kx(0?x?1),而f(1)?2(1?2)?5??3, k??3,∴∴当0?x?1时,f(x)??3x,
2从而当?1?x?0时,f(x)??f(?x)??3x,故?1?x?1时,f(x)??3x。 ∴当4?x?6时,有?1?x?5?1,
∴f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15。 当6?x?9时,1?x?5?4,
∴f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]?5?2(x?7)?5
22??3x?15,4?x?6∴f(x)??。 22(x?7)?5,6?x?9?点评:该题属于普通函数周期性应用的题目,周期性是函数的图像特征,要将其转化成
数字特征。 五.思维总结
1.判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的等价形式:f(?x)= ?f(x)?f(?x) ?f(x)=0;
2.对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称。这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广,可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立。函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映;
3.若奇函数的定义域包含0,则f(0)=0,因此,“f(x)为奇函数”是\f(0)=0\的非充分非必要条件;
4.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。
5.若存在常数T,使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立,则称T为函数f(x)的周期,一般所说的周期是指函数的最小正周期,周期函数的定义域一定是无限集。
6.单调性是函数学习中非常重要的内容,应用十分广泛,由于新教材增加了“导数”的内容,所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高,因此解决具体函数的单调性问题,一
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般求导解决,而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意,关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析,严格的解答还是应该运用定义或求导解决。
指数函数及其性质学案
一、学习目标:
1.理解指数函数的概念,并能正确作出其图象,掌握指数函数的性质. 2.培养学生实际应用函数的能力 二、学法指导:
1. 在正确理解理解指数函数的定义,会画出基本的 指数函数的图象,并且能够归纳出性质及其简单应用.
2. 指数函数的图象和性质的学习,能够学会观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.
3. 掌握函数研究的基本方法,激发自主学习的学习兴趣 三、知识要点
1.指数函数的定义:函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是
2.指数函数的图象和性质: y?ax(a?0且a?1)的图象和性质