发布时间 : 星期二 文章2016届北京市怀柔区高考数学查漏补缺试卷（解析版）更新完毕开始阅读
l2的斜率都存在，y=k（II）由题意可知：直线l1，设直线l1：（x﹣1），直线l2：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立
，
，化为（x﹣1）[（2+k2）x﹣（k2﹣2）]=0，
解得x1=，y1=
，
把k换成﹣，可得x2=
，，
∴kMN=
=，
直线MN的方程为：，化为，
∴直线MN过定点当k=±1时，M
综上可得：直线MN必过定点
21．已知椭圆C：
+
． ，N
．
，此时直线MN也过定点
．
=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点
构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； ②当
最小时，求点T的坐标．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；
第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将示出来，由
取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．
表
【解答】解：（1）依题意有解得
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所以椭圆C的标准方程为+=1．
（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0）， ①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率
．
由
?（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，
所以，
于是，从而，
即，则直线ON的斜率，
又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．
从而
，即kOT=kON，
所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证． ②由两点间距离公式得由弦长公式得
， =
=，
所以，
令号），
，则
（当且仅当x2=2时，取“=”
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所以当3，﹣1）．
1）最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，或（﹣
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2016年6月17日
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