发布时间 : 星期六 文章2016届北京市怀柔区高考数学查漏补缺试卷（解析版）更新完毕开始阅读
∴x0xD+（﹣
）?（﹣
）=0，即x0xD+8=0，得xD=﹣
，0）
∵点G是点D关于y轴的对称点，∴点G的坐标为（
因此，直线QG的斜率为kQG=
=
又∵点Q（x0，y0）在椭圆C上，可得∴kQG=
=﹣
由此可得直线QG的方程为：y=﹣（x﹣），
代入椭圆C方程，化简得（将
）x2﹣16x0x+64﹣16
=0，
，
=0
代入上式，得8x2﹣16x0x+8
=0，所以△=
化简得x2﹣2x0x+
从而可得x=x0，y=y0是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点．
综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．
18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于
，它的一个顶点恰好在抛物
线x2=8y的准线上．
（1）求椭圆C的标准方程； （2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
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【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）设椭圆C的标准方程为
（a＞b＞0），由椭圆的一个顶点恰好在抛物
，a2=b2+c2，联立解得即可．
线x2=8y的准线y=﹣2上，可得﹣b=﹣2，解得b．又
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可
=k（x﹣2）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的方程为：，与椭圆的方程联立化为
系数的关系、斜率计算公式即可得出． 【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为
（a＞b＞0）， +4
﹣16=0，利用根与
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=﹣2上，
∴﹣b=﹣2，解得b=2． 又∴a=4，
，a2=b2+c2，
，
．
可得椭圆C的标准方程为
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数， 可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，
=k（x﹣2）直线PA的方程为：， 联立
，
化为+4﹣16=0，
∴x1+2=
，
同理可得：x2+2=
=，
∴x1+x2=
，x1﹣x2=
，
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kAB=
==．
∴直线AB的斜率为定值．
19．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率． 【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．
（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0， 则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0， 则x1+x2=
，则xM=
=
=
，yM=kxM+b=
，
于是直线OM的斜率kOM=
，
即kOM?k=﹣9，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． （2）四边形OAPB能为平行四边形． ∵直线l过点（，m），
∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0， 即k2m2＞9b2﹣9m2， ∵b=m﹣m，
∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，
即k2＞k2﹣6k， 则k＞0，
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3， 由（1）知OM的方程为y=设P的横坐标为xP， 由
得
，即xP=
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x，
，
将点（，m）的坐标代入l的方程得b=即l的方程为y=kx+将y=得kx+
x，代入y=kx+
=
x
，
，
，
解得xM=
，
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM， 于是
=2×
，
解得k1=4﹣或k2=4+， ∵ki＞0，ki≠3，i=1，2，
∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．
20．已知椭圆C：
+
（a＞b＞0）的离心率为
，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴
为半径的圆与直线x﹣y+=0相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右顶点B作两条互相垂直的直线l1，l2，且分别交椭圆C于M，N两点，探究直线MN是否过定点？若过定点求出定点坐标，否则说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（I）由与直线x﹣y+
，可得a2=2b2．由于以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆
=0相切，可得
=b，可得a2=2．即可得出椭圆C的方程．
，
l2的斜率都存在，y=k（II）由题意可知：直线l1，设直线l1：（x﹣1），直线l2：
设M（x1，y1），N（x2，y2），分别与椭圆的方程联立可得M，N的坐标，可得直线MN的方程，即可得出． 【解答】解：（I）∵
，∴a2=2c2=b2+c2，∴a2=2b2，
=0相切，
∵以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+∴
=b，
∴b=1．∴a2=2． ∴椭圆C的方程为：
．
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