发布时间 : 星期二 文章2016届北京市怀柔区高考数学查漏补缺试卷（解析版）更新完毕开始阅读
设φ（x）=﹣x3+x（x≥0），则φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）， 当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上单调递增； 当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减， ∴x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点， ∴x=1也是φ（x）的最大值点， ∴φ（x）的最大值为φ（1）=．
又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象（如图所示），可知
①当a＞时，函数g（x）无零点；
②当a=时，函数g（x）有且只有一个零点； ③当0＜a＜时，函数g（x）有两个零点；
④当a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点（x＞0）， 综上所述，当a＞时，函数g（x）无零点； 当a=或a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点； 当0＜a＜时，函数g（x）有两个零点； （Ⅲ）对任意的m＞n＞0，
等价于f（m）﹣m＜f（n）﹣n恒成立（*）， 设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0）， ∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减， 由h′（x）=﹣
﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，
＜1恒成立，
得a≥﹣x2+x=﹣（x﹣）2+（x＞0）恒成立， ∴a≥（对a=，h′（x）=0仅在x=时成立）， ∴a的取值范围是[，+∞）．
第17页（共28页）
15．已知函数f（x）=ex，g（x）=ln（x+m）．直线l：y=kx+b经过点P（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切．
（1）求切线l的方程．
（2）若关于x的不等式kx+b≥g（x）恒成立，求实数m的最大值．
（3）设F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）有唯一的零点x0，求证﹣1＜x0＜﹣． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）设切点为（x1，y1），求出切点坐标，即可求切线l的方程． （2）设h（x）=1+x﹣ln（x+m），求导数，确定函数的单调性，求出最值，即可求实数m的最大值．
（3）函数F（x）有唯一的零点x0，可知f（x）=ex，g（x）=ln（x+m）在（x0，y0）处有公共切线l，可得ex0+x0=0，设H（x）=ex+x，证明H（x）在（﹣m，+∞）上单调递增，即可得出结论．
【解答】（1）解：设切点为（x1，y1），则 ∵f（x）=ex，∴f′（x）=ex， ∴切线l：y﹣ex1=ex1（x﹣x1），
P（﹣1，0）代入可得0﹣ex1=ex1（﹣1﹣x1）， ∴x1=0，
∴切线l：y=x+1；
（2）设h（x）=1+x﹣ln（x+m），则h′（x）=
，
∴﹣m＜x＜1﹣m时，h′（x）＜0，x＞1﹣m时，h′（x）＞0， ∴h（x）在x=1﹣m时取极小值，也是最小值， ∵关于x的不等式kx+b≥g（x）恒成立， ∴h（1﹣m）=2﹣m≥0， ∴m≤2，
∴实数m的最大值为2．
（3）证明：由题意，方程ex=ln（x+m）有唯一实根x0，
即f（x）=ex，g（x）=ln（x+m）有唯一交点，图象如图所示，
可知f（x）=ex，g（x）=ln（x+m）在（x0，y0）处有公共切线l， ∴ex0=
，
∴ex0+x0=0，
设H（x）=ex+x，则H′（x）=ex+1＞0， ∴H（x）在（﹣m，+∞）上单调递增， ∵H（﹣）=
﹣＞0，H（﹣1）=﹣1＜0，
第18页（共28页）
∴﹣1＜x0＜﹣．
16．已知函数
，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f
（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1； （Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；
′x1）′x2）（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f（，点B处的切线的斜率为f（，
fx）B处的切线互相垂直时，再利用（的图象在点A，斜率之积等于﹣1，得出（2x1+2）（2x2+2）
=﹣1，最后利用基本不等式即可证得x2﹣x1≥1；
（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx2+（
）2﹣1，最后利用导数研究它的单调
性和最值，即可得出a的取值范围． 【解答】解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）；
′x1）′x2）（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f（，点B处的切线的斜率为f（，
函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=﹣1， 当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0， ∴x2﹣x1= [﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥
=1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2﹣x1≥1； （III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2， 当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x（x﹣x1）；
当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=
（x﹣x2）； +2x1+a）=（2x1+2）
两直线重合的充要条件是，
由①及x1＜0＜x2得0＜
2
＜2，由①②得a=lnx2+（
）2﹣1=﹣ln
+（）
﹣1，
，则0＜t＜2，且a=t2﹣t﹣lnt，设h（t）=t2﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）
令t=
第19页（共28页）
则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．
17．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（
，
）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称
点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 【分析】（I）根据椭圆的焦距为4，得到c=上得到
=2，再由点P（
）在椭圆C
，两式联解即可得到a2=8且b2=4，从而得到椭圆C的方程；
、
的坐标，根据AD⊥AE
0），．直
（II）由题意得E（x0，0），设D的坐标为（xD，0），可得向量得
，从而算出xD=﹣
，因为点G是点D关于y轴的对称点，得到G（
线QG的斜率为kQG=，结合点Q是椭圆C上的点化简得kQG=﹣
，从而得到直
线QG的方程为：y=﹣（x﹣），将此方程与椭圆C的方程联解可得△=0，从而得到
方程组有唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点，由此即得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点． 【解答】解：（I）∵椭圆C：
+
（a＞b＞0）的焦距为4，
∴c=2，可得又∵点P（∴
…②
=2…① ）在椭圆C上
联解①②，可得a2=8且b2=4，椭圆C的方程为（II）由题意，得E点坐标为（x0，0）， 设D（xD，0），可得=（x0，﹣），
∵AD⊥AE，可得
；
=（xD，﹣
），
第20页（共28页）