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2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
第一部分(共50分)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设全集为R, 函数f(x)?1?x2的定义域为M, 则CRM为 (A) [－1,1]
(B) (－1,1) (C) (??,?1]?[1,??)
(D) (??,?1)?(1,??)
2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为
输入x If x≤50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出y DFC1 EA2(D) 61 B (A) 25 (B) 30 (C) 31 3. 设a, b为向量, 则“|a·b|?|a||b|”是“a//b”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 5. 如上图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 ．(A)1??4 (B)
?2?1 (C) 2??2 (D)
? 46. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若|z1?z2|?0, 则z1?z2 z1?z2·z2 (C) 若|z1|?|z2|, 则z1·(B) 若z1?z2, 则z1?z2 (D) 若|z1|?|z2|, 则z12?z22
7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosC?ccosB?asinA, 则△ABC的形状为
(A) 锐角三角形
(B) 直角三角形
(C) 钝角三角形
(D) 不确定
6??1??x??,x?0,8. 设函数f(x)??? , 则当x>0时, f[f(x)]表达式的展开式中常数项为 x???x?0.??x, (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15
2
9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m的内接矩形花园(阴影部分), 则
2111其边长x(单位m)的取值范围是
40m x
40m
(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30] 10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有
(A) [－x]＝－[x] (B) [2x]＝2[x] (C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y] 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
x2y2511. 双曲线??1的离心率为, 则m等于 .
16m412. 某几何体的三视图如上图所示, 则其体积为 .
13. 若点(x, y)位于曲线y?|x?1|与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 .
14. 观察下列等式:
12?1
12?22??3 12?22?32?6
12?22?32?42??10…
照此规律, 第n个等式可为 .
15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为 .
B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于O内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝ . yP CBOθ Ox E ADPC. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角?为参数, 则圆x2?y2?x?0的参数方程为 .
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 116. (本小题满分12分)已知向量a?(cosx,?),b?(3sinx,cos2x),x?R, 设函数f(x)?a·b.
2 (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
??? (Ⅱ) 求f (x) 在?0,?上的最大值和最小值.
?2?
17. (本小题满分12分)
设{an}是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 导{an}的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{an?1}不是等比数列.
18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?2. AD1B1C11 (Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角?的大小. DC
OAB19. (本小题满分12分)
在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望. 20. (本小题满分13分)
已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是
?PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.
21. (本小题满分14分)已知函数f(x)?ex,x?R.
(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设a f(a)?f(b)f(b)?f(a)与的大小, 并说明理由. 2b?a参考答案 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A 9．C 10．D 二、填空题 n?1?222n-12（-1)（-1）n?n(n?1) 11．9 12． 13．- 4 14．1-2?3-??23?x?cos2?15．（1）2 （2）6. （3）?,??R ?y?cos??sin?三、解答题 16．解：(Ⅰ) f(x)?a·b=cosx?3sinx?131?cos2x?sin2x?cos2x?sin(2x?)。 2226最小正周期T?2????，所以f(x)?sin(2x?),最小正周期为?。 26(Ⅱ) 当x?[0,???5??5?]时，(2x?)?[-,]，由标准函数y?sinx在[-,]上的图像知，. 266666???1f(x)?sin(2x?)?[f(-),f()]?[?,1]. 66221???所以，f (x) 在?0,?上的最大值和最小值分别为1,?. 2?2?17．解：(Ⅰ) 分两种情况讨论。 ①当q?1时，数列{an}是首项为a1的常数数列，所以Sn?a1?a1???a1?na1. ②当q?1时，Sn?a1?a2???an?1?an?qSn?qa1?qa2???qan?1?qan. 上面两式错位相减: （1-q)Sn?a1?(a2?qa1)?(a3?qa2)??(an?qan?1)?qan?a1?qan. a1?qana1(1?qn)?Sn??.。 1-q1-q?na1,?③综上，Sn??a1(1?qn)?1?q,?(Ⅱ) 使用反证法。 (q?1)(q?1) 设{an}是公比q≠1的等比数列, 假设数列{an?1}是等比数列.则